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बीजीय समीकरणों को कारगर कैसे करें

गणित में, गुणन

यह संख्याओं या अभिव्यक्ति की खोज करने का कार्य है, जब किसी संख्या या समीकरण में परिणाम गुणा किया जाता है। बुनियादी बीजगणित समस्याओं को हल करने के लिए कारक सीखना बहुत उपयोगी है। जब यह द्विघात समीकरणों और बहुपदों के अन्य रूपों को सुलझाने की बात आती है तो यह कौशल प्राप्त करना लगभग आवश्यक है। यह बीजीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उन्हें आसानी से हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। इसके अलावा, आप इसका उपयोग मैन्युअल रूप से समस्या को हल करने के मुकाबले संभव उत्तरों को दूर करने के लिए कर सकते हैं।

चरणों

विधि 1
फैक्टर मूल संख्या और बीजीय भाव

फ़ैक्टर बीजीय समीकरण का पहला शीर्षक चित्र 1
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व्यक्तिगत संख्याओं पर लागू होने पर फैक्टरिंग की परिभाषा को समझें। अवधारणा सरल है, लेकिन व्यवहार में, यह एक चुनौती है जब जटिल समीकरणों पर लागू किया जा सकता है। इस वजह से, अलग-अलग संख्याओं के साथ शुरूआत को लेकर कारक बनाने की अवधारणा पर ध्यान देना आसान है - फिर, सरल समीकरणों के साथ जारी रखें और अंत में, अधिक उन्नत अनुप्रयोगों के साथ आगे बढ़ें। किसी दिए गए संख्या के कारक संख्याएं हैं, जो उस संख्या में परिणाम गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, "12", "12", "2", "6", "3" और "4" के कारण "1 × 12", "2 × 6", और "3" के कारक हैं। × 4 "बराबर" 12 "हैं
  • इसका दृष्टिकोण करने का दूसरा तरीका यह है कि किसी दिए गए नंबर के कारक उन दोनों के बीच की संख्या हैं
इसे विभाजित किया जा सकता है।
  • संख्या "60" के सभी कारक ढूंढने का प्रयास करें हम विभिन्न प्रयोजनों (एक घंटे में मिनट, एक मिनट में सेकंड, आदि) के लिए संख्या "60" का उपयोग करते हैं क्योंकि यह संख्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला में विभाजित किया जा सकता है।
  • "60", "5", "6", "10", "12", "15", "20", "30" के कारक "1", "2", "3", "4", " , और "60"
  • फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक चित्र 2 चरण
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    समझे कि वेरिएबल एक्सप्रेशंस भी कारगर हो सकते हैं। जैसे-जैसे आप व्यक्तिगत संख्याओं को कारक बना सकते हैं, आप संख्यात्मक गुणांक वाले चर के लिए ऐसा ही कर सकते हैं। आपको चर के गुणांक खोजने की आवश्यकता है बीजीय समीकरणों को सरल बनाने के लिए इस पद्धति को जानने के लिए बहुत उपयोगी है, जिनमें से चर हिस्सा हैं।
  • उदाहरण के लिए, "12x" चर "12" और "x" कारकों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है हम "12x" को "3 (4x)", "2 (6x)" आदि लिख सकते हैं, किसी भी "12" कारकों का उपयोग करके जो हमारे उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त हैं।
  • हम भी "12x" कई बार दूसरे शब्दों में, हमें "3 (4x)" या "2 (6x)" रखने के लिए खुद को सीमित करना नहीं पड़ता है हम क्रमशः "3 (2 (2x)" और "2 (3 (2x)" प्राप्त करने के लिए "4x" और "6x" का कारक बना सकते हैं।) जाहिर है, दोनों भाव समान हैं।
  • छवि का शीर्षक फैक्टर बीजीय समीकरण चरण 3
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    बीजीय समीकरणों को फैक्टर करने के लिए गुणा की वितरण संपत्ति को लागू करें। गुणक के साथ दो सरल और चर संख्याओं को कारगर कैसे करें, इसके बारे में अपने ज्ञान का उपयोग करें। समीकरणों के भीतर मौजूद संख्याओं और वेरिएबल्स में समानता के कारकों की खोज करके सरल बीजीय समीकरणों को सरल बनाएं। आमतौर पर, जितना संभव हो उतना समीकरण को आसान बनाने के लिए, हम इसे खोजने की कोशिश करते हैं अधिकतम सामान्य कारक. गुणन की वितरण की संपत्ति के कारण सरलीकरण की प्रक्रिया संभव है, जो बताती है कि "ए", "बी", और "सी" के लिए किसी भी संख्या के लिए "ए (बी + सी) = एबी + एसी".
  • आइए उदाहरण का प्रयोग करें: बीजीय समीकरण "12 x + 6" का कारक बनाने के लिए, सबसे पहले, "12x" और "6" का अधिकतम सामान्य पहलू खोजने का प्रयास करें। "12x" और "6" दोनों को समान रूप से विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या "6" है, इसलिए हम "6 (2x + 1)" समीकरण को सरल बना सकते हैं।
  • यह प्रक्रिया नकारात्मक और अंशों के साथ समीकरणों पर भी लागू की जा सकती है उदाहरण के लिए, "एक्स / 2 + 4" को "1/2 (x + 8), और -7x + -21" में सरलीकृत किया जा सकता है, और इसे "-7 (x + 3)" के रूप में माना जा सकता है।
  • विधि 2
    फैक्टर द्विघात समीकरण

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    सुनिश्चित करें कि समीकरण द्विआधारी रूप में है: (कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी = 0)। द्विघात समीकरणों का रूप है "कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी = 0", जहां "ए", "बी", और "सी" संख्यात्मक स्थिरांक हैं और "ए" 0 के बराबर नहीं है (ध्यान रखें कि "ए" यह "1" या "-1" के बराबर हो सकता है) यदि आपके पास एक समीकरण है जिसमें वेरिएबल (एक्स) है जिसमें दूसरी शक्ति के लिए "x" के एक या एक से अधिक शब्द उठाए गए हैं, तो आप आम तौर पर एक तरफ "0" प्राप्त करने के लिए बुनियादी बीजीय संचालन का उपयोग करके समीकरण में शब्दों को बदल सकते हैं बराबर चिह्न और "कुल्हाड़ी", आदि। दूसरी तरफ
    • उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बीजीय समीकरण पर विचार करें: 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18. इसे सरलीकृत किया जा सकता है "एक्स + 6x + 9 = 0", जो द्विघात रूप में है।
    • "एक्स" से अधिक शक्तियों वाले समीकरण, जैसे कि "एक्स", "एक्स", आदि, वर्गसमी समीकरण नहीं माना जा सकता है। ये क्यूबिक, क्वार्टिक समीकरण आदि हैं, जब तक कि दूसरी शक्ति के ऊपर "x" के इन शब्दों को समाप्त करने के लिए समीकरण को सरल नहीं किया जा सकता।
  • फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक शीर्षक चित्र 5
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    द्विघात समीकरणों में, जहां "a = 1", "(x + d) (x + e)" के रूप में कारक, जहां "डी × ई = सी" और "डी + ई = बी"। यदि आपका द्विघात समीकरण फार्म में है "एक्स + बीएक्स + सी = 0" ((दूसरे शब्दों में, यदि शब्द का गुणांक "एक्स" = "1"), यह संभव है (लेकिन गारंटी नहीं) कि अपेक्षाकृत सरल शॉर्टकट का उपयोग समीकरण को कारक के लिए किया जा सकता है। "सी" के मूल्य को फेंकने वाले दो नंबरों को ढूंढें और जब जोड़ा गया "b" का मान जोड़ें एक बार जब आप इन दो नंबर "d" और "e" पाते हैं, तो उन्हें निम्नलिखित अभिव्यक्ति में रखें: (एक्स + डी) (एक्स + ई). इन दो शब्दों को जब गुणा किया जाता है, तो आपके द्विघात समीकरण उत्पन्न होंगे (दूसरे शब्दों में, वे इसके कारक हैं)।
  • उदाहरण के लिए, निम्न द्विघात समीकरण पर विचार करें: x + 5x + 6 = 0. गुणा "3" और "2" के लिए "6" प्राप्त करें और उन्हें "5" प्राप्त करें। अब, हम इस समीकरण को निम्न में सरल बना सकते हैं: (x + 3) (x + 2)
  • इस तेज विधि में मामूली विविधताएं हैं जो कि खुद को समीकरण में छोटे बदलाव उत्पन्न करती हैं:
  • यदि द्विघात समीकरण के रूप में है: x-bx + c, आपका उत्तर इस रूप में व्यक्त किया गया है: (x - _) (x - _)
  • यदि यह रूप में है: x + bx + c, आपका उत्तर निम्नानुसार व्यक्त किया जाना चाहिए: (x + _) (x + _)
  • यदि यह रूप में है: x-bx-c, आपका उत्तर इस रूप में व्यक्त किया गया है: (x + _) (x - _)
  • नोट: रिक्त स्थान में संख्या अंश या दशमलव हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण "x + (21/2) x + 5 = 0" यह कारगर हो सकता है "(एक्स +10) (एक्स + 1/2)"।
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    यदि संभव हो, निरीक्षण द्वारा फर्क कारक का उपयोग करें मानो या न मानो, सरल द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, फैक्टरिंग के स्वीकृत साधनों में से एक बस समस्या की जांच करना है। तब तक, आपको सही उत्तर मिलने तक संभव उत्तरों पर विचार करना चाहिए। यह निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग के रूप में भी जाना जाता है। यदि समीकरण के रूप में है: कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी और एक>1, आपके उत्तरदायी प्रतिक्रिया इस रूप में होगी: (डीएक्स +/- _) (पूर्व +/- _), जहां "डी" और "ई" शून्य से अलग संख्यात्मक स्थिरांक हैं और "ए" का मान प्राप्त करने के लिए गुणा करें । दोनों "डी" और "ई" (या दोनों) यह संख्या "1" हो सकती है, हालांकि यह हमेशा मामला नहीं होता है। यदि दोनों "1" हैं, तो संक्षेप में, आपने ऊपर वर्णित शॉर्टकट का उपयोग किया है।
  • हम निम्नलिखित उदाहरण का प्रयोग करेंगे: 3x - 8x + 4. सबसे पहले, यह समस्या डरा देने लग सकती है। हालांकि, एक बार हमें पता है कि "3" में केवल दो कारक हैं ("3" और "1"), यह आसान हो जाता है, क्योंकि हम जानते हैं कि हमारे उत्तर में निम्न रूप होना चाहिए: (3x +/- _ ) (एक्स +/- _) इस मामले में, रिक्त स्थान दोनों में "-2" रखने से हमें सही जवाब मिल जाता है: "-2 × 3x = -6x" और "-2 × x = -2x"। "-6x" और "-2x" जोड़ "-8x", और "-2 × -2 = 4""। अब, हम मानते हैं कि कोष्ठकों में मुख्य रूप से मूल समीकरण बनने के लिए गुणा किया गया शब्द।
  • Video: अनुक्रमानुपाती एवं व्युत्क्रमानुपाती विचरण ,direct and inverse variation

    फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक चित्र 7



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    वर्ग को पूरा करके समस्या का समाधान करें कुछ मामलों में, एक विशेष बीजीय पहचान का उपयोग करके द्विघात समीकरण को जल्दी और आसानी से कारक बनाया जा सकता है। किसी भी द्विघात समीकरण को प्रपत्र में व्यक्त किया गया है: x + 2xh + h = (x + h)। यदि समीकरण में, "बी" का मान "c" के मान के वर्गमूल से दोगुना है, तो आपके समीकरण को इस रूप में माना जा सकता है: (x + (sqrt (c)))।
  • उदाहरण के लिए, समीकरण "एक्स" + "6x" + "9" यह इस तरह से फिट बैठता है "3" यह वह जगह है "9" और "3 × 2" यह वह जगह है "6"। इसलिए, हम जानते हैं कि इस समीकरण का उत्प्रेरक रूप है "(एक्स + 3) (एक्स + 3)" या "(एक्स + 3)"।
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    द्विघात समीकरण को हल करने के लिए कारकों का उपयोग करें। जिस तरह से आप अपने द्विघात अभिव्यक्ति का पहलू करते हैं, एक बार कारगर होने पर, आप प्रत्येक कारक को शून्य से मिलान करके "x" के मूल्य के लिए संभव उत्तर पा सकते हैं। चूंकि आप "x" के मानों की तलाश कर रहे हैं, जो समीकरण को बराबर शून्य के कारण होता है, "x" का मान जो आपके किसी भी कारक को शून्य के बराबर बनाता है आपके द्विघात समीकरण के लिए संभव उत्तर है।
  • चलो समीकरण पर वापस जाते हैं: x + 5x + 6 = 0. यह समीकरण इस प्रकार माना जाता है: (x + 3) (x + 2) = 0. यदि कोई भी कारक "0" के बराबर है, तो समीकरण का समीकरण समरूप है "0"। इसलिए, "x" के लिए हमारे संभावित उत्तरों संख्या हैं जो "(x + 3)" और "(x + 2)" 0 के बराबर होते हैं। ये नंबर "-3" और "-2" हैं, क्रमशः।
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    अपने उत्तरों की जांच करें, क्योंकि उनमें से कुछ अजीब हो सकते हैं एक बार जब आप "x" के लिए अपने संभावित उत्तर पाएंगे, तो उन्हें यह सत्यापित करने के लिए रखें कि क्या वे मान्य हैं। कभी-कभी, जवाब प्राप्त होते हैं वे मूल समीकरण को बराबर शून्य नहीं बनाते हैं। इन प्रकार के समाधान हैं अजीब और आप उनके बिना कर सकते हैं।
  • चलिए "-2" और "-3" में डालते हैं: x + 5x + 6 = 0. चलिए "-2" से शुरू करते हैं:
  • (-2) + 5 (-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. यह सही है, इसलिए "2" एक वैध जवाब है।
  • अब, "-3" के साथ प्रयास करें:
  • (-3) + 5 (-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 +6 = 0
  • 0 = 0. यह सही है, इसलिए "3" भी एक वैध जवाब है।
  • विधि 3
    समीकरणों के अन्य रूपों का फैक्टर

    फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक चित्र 10
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    यदि समीकरण रूप में है "एक-बी", के रूप में यह कारक "(ए + बी) (ए-बी)"। दो चर के साथ समीकरण मूल रूप से क्वाडट्रिक्स से भिन्न होते हैं। किसी भी समीकरण के लिए "एक-बी" जहां "a" और "b" "0" के बराबर नहीं हैं, समीकरण को इस प्रकार माना जाता है: (a + b) (a-b)।
    • उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण: 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y)
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    यदि समीकरण रूप में है "ए +2 बी + बी", के रूप में यह कारक "(ए + बी)"। ध्यान दें कि, यदि तेंदुए के रूप में है: a-2ab + b, कारक फार्म थोड़ा अलग है: (ए-बी)।
  • समीकरण "4x + 8xy + 4y" इसे फिर से व्यक्त किया जा सकता है: 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y अब, हम देख सकते हैं कि यह सही रूप में है, इसलिए हम विश्वास से कह सकते हैं कि हमारे समीकरण को इस रूप में माना जाता है: (2x + 2y)
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    यदि समीकरण रूप में है "एक-बी", के रूप में यह कारक "(ए-बी) (ए + बी + बी)"। अंत में, यह उल्लेखनीय है कि आप क्यूबिक और यहां तक ​​कि उच्च ऑर्डर समीकरण का कारक बना सकते हैं, हालांकि यह प्रक्रिया स्मारकीय रूप से जटिल हो जाती है।
  • उदाहरण के लिए: 8x - 27y, यह माना जाता है: (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9)
  • युक्तियाँ

    • यह कारगर हो सकता है "एक-बी""- लेकिन, यह मामला ऐसा नहीं है "ए + बी"।
    • यह याद रखना बहुत उपयोगी हो सकता है कि कैसे स्थिरांक का पहलू है।
    • फैक्टरिंग प्रक्रिया में, सावधान रहें जब अंश के साथ काम करें।
    • यदि आपके पास इस रूप में एक ट्रिनीमियल है: एक्स + बीएक्स + (बी / 2), कारक फार्म है "(एक्स + (बी / 2))"। यह संभव है कि स्क्वायर को पूरा करते समय आपको इस स्थिति का सामना करना पड़ेगा।
    • याद रखें कि "a0 = 0" (शून्य उत्पाद संपत्ति)।

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    • कागज़
    • पेंसिल
    • एक गणित पुस्तक (यदि आवश्यक हो)
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