एक त्रिकोणमितीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें चाप एक्स के त्रिकोणमितीय चर के एक या कई त्रिकोणमितीय कार्यों को शामिल किया गया है। क्लीयरिंग "एक्स" का अर्थ है त्रिकोणमितीय आर्कों के मूल्यों का पता लगाना, जिनके त्रिकोणमितीय कार्यों त्रिकोणमितीय समीकरण सही बनाते हैं।
उत्तर या समाधान आर्कों के मूल्य, डिग्री या रेडियन में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण:
x = Pi / 3- x = 5Pi / 6- x = 3 पी / 2- x = 45⁰- x = 37.12⁰- x = 178.37⁰
नोट: त्रिकोणमितीय परिधि या इकाई परिधि में, किसी भी आर्क के त्रिकोणमितिक फ़ंक्शंस इसी कोण के समान त्रिकोणमिति फ़ंक्शन होते हैं। इकाई परिधि चर चाप x के सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करता है। इसके अलावा, इसका उपयोग मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने में एक प्रदर्शन के रूप में किया जाता है।
त्रिकोणमितीय समीकरणों के उदाहरण:
sin x + sin 2x = 1 / 2- टीजी x + cotg x = 1,732;
cos 3x + sin 2x = cos x- 2sen 2x + cos x = 1
इकाई परिधि
यह त्रिज्या = 1 इकाई के साथ एक चक्र है और ओ मूल के रूप में है। यूनिट परिधि चर चक एक्स के 4 मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करता है जो उसमें वामावर्त की ओर घूमता है।
जब मान x के साथ चाप इकाई परिधि में बदलता रहता है:
क्षैतिज अक्ष OAx त्रिकोणमिति फ़ंक्शन को परिभाषित करता है f (x) = cos x
ऊर्ध्वाधर अक्ष OBy त्रिकोणमिति फ़ंक्शन को परिभाषित करता है f (x) = sin x
ऊर्ध्वाधर अक्ष में त्रिकोणमिति फ़ंक्शन को परिभाषित करता है f (x) = tg x
क्षैतिज अक्ष BU त्रिंबोमेट्रिक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है f (x) = cotg x
इकाई परिधि का उपयोग मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए भी किया जाता है, जो इस परिधि में चाप एक्स के विभिन्न पदों को ध्यान में रखते हैं।
चरणों
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की अवधारणा को जानते हैं संकल्प।
एक त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे एक या कई मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों में बदलना। अंत में, त्रिकोणमितीय समीकरणों के संकल्प के परिणाम मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणों के 4 प्रकारों के संकल्प में होते हैं।
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मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके जानें।
मूलभूत त्रिकोणमिति समीकरणों के 4 प्रकार हैं:
पाप x = a - cos x = a
टीजी x = a - cotg x = a
इकाई परिधि में चाप एक्स के विभिन्न पदों का अध्ययन करके और त्रिकोणमिति रूपांतरण तालिका या कैलकुलेटर का उपयोग करके बुनियादी त्रिकोणमिति समीकरणों की प्रक्रियाओं का समाधान। पूरी तरह से पता है कि इन बुनियादी और समान त्रिकोणमिति समीकरणों को हल करने के लिए, पुस्तक को पढ़ें: "त्रिकोणमिति: त्रिकोणीय समीकरणों और असमानताओं को हल करना"(" त्रिकोणमिति: त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं का संकल्प ") (अमेज़ॅन ई-बुक 2010)।
उदाहरण 1: पाप x = 0.866 को हल करें रूपांतरण तालिका या कैलकुलेटर आपको एक्स = पी / 3 को एक उत्तर के रूप में देता है। यूनिट परिधि में एक अन्य आर्क (2 पीई / 3) देता है, जिसकी साइन (0,866) का समान मूल्य है। इसके अतिरिक्त, यूनिट परिधि में जवाबों की एक अनन्तता दी जाती है जिसे विस्तारित समाधान कहा जाता है।
x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, और x2 = 2Pi / 3 (अंतराल में समाधान (0, 2 पी))
x1 = Pi / 3 + 2k Pi, और x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi (विस्तारित समाधान)
उदाहरण 2: हल: cos x = -1/2 कैलकुलेटर एक परिणाम के रूप में एक्स = 2 पीआई / 3 देता है। यूनिट परिधि में दूसरा परिणाम एक्स = -2 पी / 3 होता है।
x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, और x2 = - 2Pi / 3 (अंतराल में समाधान (0, 2 पी))
उदाहरण 4: cotg 2x = 1,732 को हल करें कैलकुलेटर और यूनिट परिधि का परिणाम cotg 2x = 1,732 होगा।
x = पी / 12- (समाधान)
x = पी / 12 + के पी- (विस्तारित समाधान)
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जानें परिवर्तनों को त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।
एक बुनियादी त्रिकोणमिति में एक त्रिकोणमितीय समीकरण को बदलने के लिए, आम बीजीय परिवर्तनों (गुणन, आम कारक, बहुपद पहचान ...), परिभाषाएँ और त्रिकोणमितीय कार्यों और ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान के गुणों का उपयोग कर। लगभग 31, जिनमें से पिछले 14 त्रिकोणमितीय पहचान, 1 9 से 31 वर्ष के हैं, उन्हें परिवर्तन पहचान कहा जाता है, क्योंकि उनका उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरणों के परिवर्तन में किया जाता है। उपर्युक्त पुस्तक को पढ़ें
उदाहरण 5: त्रिकोणमितीय समीकरण: पाप x + पाप 2x + पाप 3x = 0 बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान का उपयोग करने का एक उत्पाद के रूप में तब्दील किया जा सकता है: 4cos x * sin (3x / 2) * क्योंकि (एक्स / 2) = 0 मूल त्रिकोणमितीय समीकरण जिन्हें हल करना चाहिए: cos x = 0 - पाप (3x / 2) = 0 - और cos (x / 2) = 0
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जिन आर्किक्स का पता चला है उन आर्किक्स का पता लगाएं
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सीखने से पहले, आपको पता होना चाहिए कि किस प्रकार का त्रिकोणीय फ़्रेम जाना जाता है त्रिकोणमितीय तालिकाओं और कैलकुलेटर आर्क, या कोण के रूपांतरण मूल्य देते हैं।
उदाहरण: हल करने के बाद, आपके पास कॉस एक्स = 0.732 होगा। कैलकुलेटर समाधान आर्क एक्स = 42.95 give देते हैं। इकाई परिधि समान कोसाइन मूल्य के साथ अन्य समाधान आर्क प्रदान करेगा।
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Video: How to solve a trigonometric equation with secant
यूनिट परिधि में समाधान आर्क को ग्राफ़ करें
आप यूनिट परिधि में समाधान आर्क को ग्राफ़ या समझा सकते हैं। इन समाधान आर्कों के अंत अंक इकाई परिधि में नियमित बहुभुज हैं। उदाहरण:
समाधान आर्किक्स के चरम बिंदुओं एक्स = पी / 3 + केपी / 2 इकाई परिधि में एक वर्ग का गठन करते हैं।
यूनिट परिधि में एक नियमित षट्भुज के कोने से समाधान x = Pi / 4 + k.Pi / 3 के आर्क को दर्शाया जाता है।
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जानें त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए तरीके
यदि दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण में एक त्रिकोणमिति फ़ंक्शन होता है, तो उसे मूल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करें। यदि दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण में दो या अधिक त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं, तो परिवर्तन की संभावना के आधार पर संकल्प के लिए 2 तरीके हैं।
ए विधि 1
के रूप में एक उत्पाद में त्रिकोणमितीय समीकरण बदल देती है: f (x) .g (एक्स) के = 0 (एक्स) .g (एक्स) ज (x) = 0, जहां f (x), ग्राम ( x) और h (x) मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं।
उदाहरण 6: हल: 2 cos x + sin 2x = 0. (0 < एक्स < 2pi)।
समाधान: समीकरण में, पहचान के उपयोग से पाप 2x को प्रतिस्थापित करें: पाप 2x = 2 * पाप x * cos x
क्योंकि एक्स + 2 * पाप x * क्योंकि x = 2 क्योंकि एक्स * (पाप x + 1) = 0. फिर दो बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों का समाधान: क्योंकि x = 0, वाई (पाप x + 1) = 0।
उदाहरण 7: हल: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < एक्स < 2pi)।
समाधान: यह एक उत्पाद ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान का उपयोग कर के रूप में बदल: क्योंकि 2x (2cos x + 1) = 0. फिर हल दो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों: 2x = 0, और (2 क्योंकि x + 1) = क्योंकि 0।
उदाहरण 8: हल: पाप x - पाप 3x = cos 2x (0 < एक्स < 2pi)।
समाधान: यह एक उत्पाद के रूप में बदल ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान का उपयोग करके: क्योंकि 2x * (2 पाप x + 1) = 0. फिर हल दो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों: 2x = 0, और (2 पाप x + 1) = 0 क्योंकि।
बी विधि 2
एक त्रिकोणमितीय समीकरण में दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को एक चर के रूप में एक त्रिकोणमिति फ़ंक्शन के साथ रूपांतरण करना। सही चर का चयन करने के तरीके पर कुछ सुझाव दिए गए हैं चुनने के लिए सामान्य चर: sin x = t-cos x = t-cos 2x = t, tg x = t और tg (x / 2) = t
उदाहरण 9: हल: 3sen ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sen x + 7 (0 < एक्स < 2pi)।
समाधान: समीकरण में, (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) से प्रतिस्थापित करें, फिर समीकरण को सरल करें:
पाप ^ 2 एक्स - 2 - 2sen ^ 2 एक्स - 4 पाप x - 7 = 0. पाप एक्स = टी खोजें समीकरण बन जाता है: 5 टी ^ 2 - 4 टी - 9 = 0. यह 2 वास्तविक जड़ों के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण है: टी 1 = 1 और टी 2 = 9/5 दूसरा टी 2 अस्वीकार कर दिया क्योंकि यह है> 1. तब, हल: t = sin = -1 -> x = 3pi / 2
उदाहरण 10: हल: टीजी x + 2 टीजी ^ 2 x = cotg x + 2
समाधान: टीजी x = टी की गणना t = 0 साफ उत्पाद, तो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरण TG एक्स = टी एक्स के लिए हल करती है - समीकरण एक चर टी (2t + 1) (1 टी ^ 2) के रूप में एक समीकरण में दिए गए बदल देती है।
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विशेष प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें।
कुछ विशेष प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरण हैं, जिनमें कुछ विशिष्ट परिवर्तनों की आवश्यकता होती है। उदाहरण:
एक * पाप x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
एक * पाप ^ 2 एक्स + बी * पाप x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
Video: त्रिकोणमितीय समीकरण का व्यापक हल एनसीईआरटी हिंदी
Video: How to solve trigonometric equation with tangent
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त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिक संपत्ति जानें
सभी त्रिकोणमिति फ़ंक्शंस आवधिक होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक अवधि के लिए रोटेशन के बाद एक ही मूल्य पर लौटते हैं। उदाहरण:
समारोह एफ (एक्स) = पाप एक्स की अवधि के रूप में 2Pi है।
समारोह एफ (एक्स) = टीजी एक्स अवधि के रूप में पीआई है।
समारोह एफ (एक्स) = पाप 2x अवधि के रूप में पीआई है।
फ़ंक्शन एफ (एक्स) = कॉस (एक्स / 2) की अवधि 4 पीआई है।
यदि आप समस्या या परीक्षण की अवधि निर्दिष्ट करते हैं, तो आपको केवल इस अवधि के भीतर समाधान आर्क या एक्स मिलना होगा।
नोट: त्रिकोणमितीय समीकरणों को सुलझाना एक जटिल काम है जो अक्सर त्रुटियों की ओर जाता है। इसलिए, समाधानों की बहुत सावधानीपूर्वक समीक्षा की जानी चाहिए। बसने के बाद, आप सीधे दिया त्रिकोणमितीय समीकरण आर (x) = 0. समाधान (अचल संपत्ति) का ग्राफ़ बनाने दशमलव में हैं करने के लिए ग्राफिक कैलकुलेटर का उपयोग कर समाधान की समीक्षा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पीआई 3.14 के मूल्य में व्यक्त की जाएगी।