पुनरावृत्ति संबंध को कैसे हल करें

जब कुछ गणितीय अनुक्रम के लिए एक सूत्र खोजने की कोशिश कर, एक आम मध्यवर्ती चरण अवधि n (n वें) नहीं के रूप में एन के एक समारोह है, लेकिन पिछले एक अनुक्रम के घटकों के मामले में मिल रहा है। उदाहरण के लिए, यह बंद फार्म में एक समारोह Nde के लिए फाइबोनैचि अनुक्रम के लिए अच्छा होगा, जबकि, कभी कभी सब हमारे पास आवर्तन संबंध है, यानी फाइबोनैचि अनुक्रम के प्रत्येक शब्द दो शब्दों का योग है इसके बाद के संस्करण। इस अनुच्छेद में हम एक पुनरावृत्ति के बंद रूप से एक फार्मूला निकालने के लिए कई तरीके प्रस्तुत करते हैं।

चरणों

विधि 1

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क्योंकि प्रत्येक शब्द पिछले एक से 3 गुना अधिक है, यह एक पुनरावर्ती के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जैसा कि दिखाया गया है।

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पहचानें कि एक के रूप में किसी भी अनुक्रम_n = ए_n-1 + डी एक अंकगणितीय अनुक्रम है

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एक अंकगणितीय अनुक्रम के फार्मूले का बंद रूप लिखें, संभवतः अज्ञात के साथ दिखाया गया है।

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अनुक्रम की शुरुआत के आधार पर अज्ञात को हल करें इस मामले में, क्योंकि 5 शब्द 0 था, सूत्र एक है_n = 5 + 3 एन यदि आप चाहते हैं कि 5 पहले पद हो, तो आपको मिलेगा_n = 2 + 3 एन

विधि 2

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क्योंकि प्रत्येक शब्द पिछले एक से दो गुना ज्यादा है, यह एक पुनरावर्ती के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जैसा कि दिखाया गया है।

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मान्यता देते हैं कि इस फॉर्म की पुनरावृत्ति के लिए_n = आर * ए_n-1 यह एक ज्यामितीय क्रम है

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एक ज्यामितीय अनुक्रम के लिए फार्मूले के बंद रूप को लिखें, संभवतः अज्ञात के रूप में दिखाया गया है।

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अनुक्रम कैसे शुरू हुआ, इसके आधार पर किसी अज्ञात को हल करें इस मामले में, क्योंकि 3 शब्द 0 था, सूत्र एक है_n = 3 * 2 यदि आप चाहते हैं कि 3 पहले पद हो, तो आपको मिलेगा_n = 3 * 2

विधि 3

2

दिखाए गए फॉर्म की कोई पुनरावृत्ति, जहां पी (एन) एन में कोई बहुपद है, उसमें डिग्री के एक से अधिक डिग्री के एक बंद बहुपद फार्मूला होगा।

3

आवश्यक डिग्री के बहुपद का सामान्य रूप लिखें इस उदाहरण में, पी द्विघात है, इसलिए हमें क्यूब की आवश्यकता होगी जो अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है_n.

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चूंकि क्यूब में 4 अज्ञात गुणांक हैं, इसलिए अनुक्रम के 4 पदों को परिणामस्वरूप सिस्टम प्राप्त करना आवश्यक है। या तो 4 इस्तेमाल किया जा सकता है, तो मामले 0, 1, 2 का उपयोग करें, और 3 रन पुनरावृत्ति पीछे की ओर अवधि -1podría हल करने के लिए एक प्रणाली आसान है, लेकिन जरूरी नहीं बनाने को खोजने के लिए।

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5

प्रदर्शित के रूप में डिग्री (पी) = 2 अज्ञात में डिग्री (पी) +2 समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।

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यदि यह निरंतर मुक्त बहुपद की अवधि में गुणांक परिणाम हल करने के लिए उपयोग किए गए शब्दों में से एक था और दिखाया गया है तुरंत प्रणाली डिग्री (पी) डिग्री (पी) +1 अज्ञात +1 समीकरणों को कम कर सकते हैं।

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सी खोजने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें₃ = 1/3, सी₂ = -5 / 2, सी₁ = -17/6, और c = 5. एक के लिए बंद सूत्र प्रस्तुत करता है_nज्ञात गुणांक के साथ एक बहुपद के रूप में

विधि 4

2

पुनरावृत्ति की बहुपद विशेषताओं को लिखें यह प्रत्येक जगह के द्वारा पाया जाता है_n एक्स द्वारा पुनरावृत्ति और xdejando द्वारा डिग्री k का एक मोनोनी बहुपद और एक निरंतर शब्द जो कि शून्य नहीं है।

3

विशेषता बहुपद को हल करें इस मामले में, विशेषता 2 डिग्री है, इसलिए हम जड़ों को खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

4

दिखाए गए फॉर्म की कोई भी अभिव्यक्ति पुनरावृत्ति को संतुष्ट करती है सी_मैंकिसी भी स्थिर है और घाटियों का आधार ऊपर पाया विशेषता की जड़ हैं। यह प्रेरण द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।

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सी खोजें_मैंजो निर्दिष्ट प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करता है बहुपद के उदाहरण के अनुसार, यह प्रारंभिक शब्दों के समीकरणों की एक रेखीय प्रणाली बनाकर किया जाता है। क्योंकि इस उदाहरण के दो अज्ञात हैं, हमें दो शब्दों की आवश्यकता है। किसी भी जोड़ी की स्थिति काम करेगी, इसलिए किसी अवास्तविक संख्या को उच्च शक्ति तक बढ़ाने से बचने के लिए 0 और 1 ले लें।

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समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें

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समाधान के रूप में सामान्य सूत्र में परिणामस्वरूप स्थिरांक को कनेक्ट करें

विधि 5

2

अनुक्रम के उत्पन्न कार्य को लिखें एक सृजनात्मक कार्य केवल औपचारिक शक्तियों की एक श्रृंखला है जहां एक्स के गुणांक अनुक्रम का शब्द n है।

3

दिखाए गए अनुसार सृजनात्मक कार्य को हेर-फेर करना। इस चरण का उद्देश्य एक समीकरण को खोजना है जो हमें सृजनशील कार्य ए (एक्स) को हल करने की अनुमति देता है। प्रारंभिक शब्द निकालें शेष शर्तों के पुनरावृत्ति संबंध को लागू करें राशि को विभाजित करें लगातार शब्दों को निकालें ए (एक्स) की परिभाषा का उपयोग करें ज्यामितीय श्रृंखला के योग के लिए सूत्र का उपयोग करें।

4

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सृजित फ़ंक्शन ए (एक्स) ढूँढें।

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ए (एक्स) में एक्स के गुणांक को ढूंढें ऐसा करने के लिए तरीके के आधार पर अलग अलग दिखता है वास्तव में एक (एक्स), लेकिन आंशिक अंशों की विधि, जैसा कि यहाँ दिखाया एक ज्यामितीय अनुक्रम कार्यों का सृजन समारोह के ज्ञान के साथ संयुक्त रूप में।

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एक के लिए फार्मूला लिखें_nए (एक्स) में एक्स के गुणांक की पहचान करके