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यह कैसे पता चलेगा कि कोई संख्या प्रधान है या नहीं

प्रधान संख्याएं केवल खुद और 1 के बीच विभाज्य होती हैं। दूसरी ओर, अन्य सभी को संमिश्र संख्या कहा जाता है। यह जानने के लिए कई तरीके हैं कि कोई संख्या प्रधान है या नहीं, लेकिन हमेशा त्रुटि के एक निश्चित अंतर है बड़ी संख्या का विश्लेषण करने के लिए सटीक लेकिन बहुत धीमी गति से परीक्षण भी होते हैं, साथ ही साथ तेज़ी से होते हैं, लेकिन वे झूठे परिणाम दे सकते हैं। इस आलेख में, आप अपने आकार के आधार पर एक प्रमुख संख्या का पता लगाने के लिए कुछ विकल्प देखेंगे।

चरणों

भाग 1

एक प्रमुख संख्या का पता लगाने के लिए विभिन्न परीक्षणों का उपयोग करें

ध्यान दें: सभी सूत्रों में, n वह संख्या है जिसका प्रामाणिकता आप साबित करना चाहते हैं।

छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 1 है
1
अस्थायी द्वारा विभाजन का उपयोग करें विभाजन प्रत्येक प्राइम नंबर के बीच 2 से छत फ़ंक्शन तक (n{ displaystyle { sqrt {n}}})।
  • छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 2 है
    2
    फ़र्मट के छोटे प्रमेय को बाहर ले जाओ चेतावनी: आप झूठी सकारात्मक प्राप्त कर सकते हैं, यहां तक ​​कि सभी के सभी मूल्यों के लिए।
  • एक पूरे मूल्य को करने के लिए असाइन करें ऐसा एक ऐसा 2 ≤ एक ≤ एन -1
  • यदि एक (mod n) = a (mod n), तो "n" शायद एक प्रमुख संख्या है। अगर यह पूरा नहीं हुआ है, तो "एन" एक प्रमुख नहीं है
  • के विभिन्न मूल्यों के साथ एक ही मत करो यह सुनिश्चित करने के लिए कि वह वास्तव में चचेरे भाई है
  • छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 3 है
    3
    मिलर-राबिन प्राइमिलिटी टेस्ट का प्रदर्शन करता है चेतावनी: आप झूठी सकारात्मक प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन यह शायद ही एक के कई मूल्यों में होता है।
  • "एस" और "डी" के मूल्यों को इस तरह से खोजें कि n-1=2रों*घ{ displaystyle n-1 = 2 ^ {एस} * घ}.
  • एक पूरे मूल्य को करने के लिए असाइन करें ऐसा एक ऐसा 2 ≤ एक ≤ एन -1
  • यदि एक = +1 (mod n) या -1 (mod n), तो "n" शायद एक प्रमुख संख्या है अब परीक्षा के परिणाम पर जाएं - अन्यथा, अगले चरण पर जाएं।
  • उत्तर स्क्वायर बढ़ाएं (को2घ{ displaystyle a ^ {2d}})। यदि यह +1 (mod n) या -1 (mod n) के बराबर है, तो परीक्षा के परिणाम पर जाएं। अन्यथा, दोहराएँ (को4घ{ displaystyle a ^ {4d}} आदि) जब तक को2रों-1घ{ displaystyle a ^ {2 ^ {एस -1}}}}.
  • परीक्षा का नतीजा: यदि "एन" परीक्षा उत्तीर्ण करता है, तो विभिन्न मूल्यों को असाइन करें एक इसकी प्राणिता की गारंटी के लिए

    • भाग 2

    प्रमुख संख्याओं का पता लगाने के लिए परीक्षणों को समझें
    छवि शीर्षक वाला शीर्षक देखें यदि नंबर प्राइज चरण 4 है
    1
    प्रयास से विभाजन की विधि को समझें प्राणायाम की परिभाषा के अनुसार, n केवल एक प्राइम है अगर यह 2 या उससे अधिक के बराबर के बीच समान रूप से विभाजित नहीं किया जा सकता है सूत्र पिताजी आपको अनावश्यक परीक्षणों को छोड़कर समय बचाता है (जैसे 3 परीक्षण करने के बाद, यह 9 के साथ ऐसा करना जरूरी नहीं है)।
    • फ़ंक्शन की सीमा (एक्स) चक्कर x निकटतम पूर्ण संख्या ≥ x
  • छवि शीर्षक वाला शीर्षक देखें अगर नंबर प्राइम चरण 5 है

    Video: शौचालय का पैसा आया या नहीं आया कैसे पता करें -by Tallentindia

    2
    इसमें मॉड्यूलर अंकगणित शामिल हैं ऑपरेशन "एक्स मॉड वाई" ("मॉड्यूल" के लिए संक्षिप्त) का अर्थ है "विभाजन" एक्स "के बीच" और "और शेष अवशेष ढूंढें।" दूसरे शब्दों में, मॉड्यूलर अंकगणित में, संख्या एक निश्चित ज्ञात मूल्य तक पहुंचने के बाद शून्य पर लौट जाती है "मॉड्यूल" के रूप में। मॉड्यूल 12 में एक घड़ी की गणना (यह है, यह 10 से 11 और 12 तक जाता है) और फिर 1 पर लौटाता है।
  • कई कैलकुलेटर में "मॉड" बटन शामिल होता है, लेकिन बड़ी संख्या के मामले के लिए हाथ से इसे कैसे हल किया जाए, यह जानने के लिए इस अनुभाग के अंतिम भाग की जांच करें।

  • Video: राशन कार्ड में नाम कट गया हो या राशन नही मिल रहा हो तो कैसे शिकायत करें-how to complaint online

    छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 6 है
    3
    Fermat के छोटे प्रमेय के साथ समस्याओं को ध्यान में रखें सभी संख्याएं जो इस परीक्षा को पारित नहीं करती हैं, उन्हें (नहीं चचेरे भाई) बनाते हैं, लेकिन दुर्भाग्य से, जो लोग पास करते हैं वे केवल शायद चचेरे भाई यदि आप सुरक्षित रूप से झूठी सकारात्मक से बचने के लिए चाहते हैं, तो देखें "कारमाइकल नंबर" (जो कि इस परीक्षा को हर समय पास करते हैं) और "फर्मेट स्यूडोपोमियो" (जो कि इस परीक्षण को केवल कुछ मानों के लिए क)।
  • छवि का शीर्षक है कि क्या नंबर प्राइज चरण 7 है
    4
    जब भी उपयुक्त हो तो मिलर-राबिन प्राइमलिटी टेस्ट का उपयोग करें। जबकि यह हाथ से प्रदर्शन करने के लिए जटिल है, यह परीक्षण आमतौर पर सॉफ्टवेयर द्वारा किया जाता है यह लंबे समय तक नहीं लेता है और फ़र्मट की विधि की तुलना में कुछ गलत सकारात्मक है। एक यौगिक संख्या कभी भी मूल्यों के ¼ से अधिक के लिए एक झूठी सकारात्मक नहीं देता एक। यदि आप कई मूल्यों का चयन करते हैं बेतरतीब ढंग से और इस परीक्षा को पारित करने के लिए, आपके पास लगभग सभी आश्वासन हो सकते हैं n एक चचेरा भाई है
  • छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 8 है
    5
    बड़ी संख्या का विश्लेषण करने के लिए मॉड्यूलर अंकगणितीय करें यदि आपके पास "mod" फ़ंक्शन के साथ एक कैलकुलेटर नहीं है या यदि आपके पास ऐसा कोई भी उच्च संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है, तो प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए प्रतिपादकों के गुणों और मॉड्यूलर अंकगणितीय का उपयोग करें। इस मामले में, हम एक उदाहरण के रूप में उपयोग करेंगे 350{ displaystyle 3 ^ {50}} मॉड 50:
  • अधिक प्रबंधनीय प्रतिपादकों के साथ अभिव्यक्ति को फिर से लिखना: (325*325){ displaystyle (3 ^ {25} * 3 ^ {25})} mod 50 (यदि आप हाथ से गणना करने जा रहे हैं तो शायद आपको इसे और भी अधिक घुलना होगा)।
  • (325*325){ displaystyle (3 ^ {25} * 3 ^ {25})} आधुनिक 50 = (325{ डिस्स्टस्टाइल (3 ^ {25}} आधुनिक 50 *325{ displaystyle * 3 ^ {25}} mod 50) मॉड 50 (यह मॉड्यूलर गुणा की संपत्ति है)
  • 325{ डिस्स्टस्टाइल 3 ^ {25}} आधुनिक 50 = 43
  • (325{ डिस्स्टस्टाइल (3 ^ {25}} आधुनिक 50 *325{ displaystyle * 3 ^ {25}} आधुनिक 50) मॉड 50 = (43*43){ displaystyle (43 * 43)} आधुनिक 50
  • =1849{ displaystyle = 1849} आधुनिक 50
  • =49{ displaystyle = 49}

    • भाग 3

    बाकी के चीनी प्रमेय का उपयोग करें
    छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 9 है



    1
    दो नंबर चुनें इनमें से एक को एक चचेरा भाई नहीं होना चाहिए, जबकि दूसरा व्यक्ति होना चाहिए जिसकी जांच करने के लिए उसकी मूलभूतता का पता लगाया जाना चाहिए।
    • "प्रीमो 1" = 35
    • primo2 = 97
  • छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 10 है
    2
    शून्य से अधिक और primo1 और primo2 से क्रमशः दो डेटा बिंदु चुनें। वे समान नहीं हो सकते
  • dato1 = 1
  • dato2 = 2
  • छवि शीर्षक वाला चित्र देखें अगर नंबर प्राइज चरण 11 है
    3
    Primo1 और primo2 संख्याओं के गुणनशील व्युत्क्रम (आईएम) की गणना करें
  • आईएम की गणना करें:
  • IM1 = primo2 ^ -1 आधुनिक प्रीमो 1
  • IM2 = primo1 ^ -1 आधुनिक प्रीमो 2
  • केवल प्रधान संख्या के मामले में (आपको संयुग्म संख्याओं के लिए एक नंबर मिलेगा, लेकिन यह आपका आईएम नहीं होगा):
  • IM1 = (प्राइमो 2 ^ (प्राइमो 1-2))% प्राइम 1
  • IM2 = (प्राइमो 1 ^ (प्राइमो 2-2))% primo2
  • उदाहरण के लिए:
  • IM1 = (97 ^ 33)% 35
  • IM2 = (35 ^ 95)% 97
  • छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 12 है
    4
    प्रत्येक आईएम के लिए एक बाइनरी कनवर्ज़न तालिका बनाएं जब तक आप मॉड्यूल के लॉग 2 तक नहीं पहुंचते।
  • आईएम 1 के लिए:
  • एफ (1) = प्राइमो 2% प्राइम 1 = 97% 35 = 27
  • एफ (2) = एफ (1) * एफ (1)% primo1 = 27 * 27% 35 = 2 9
  • एफ (4) = एफ (2) * एफ (2)% primo1 = 29 * 29% 35 = 1
  • एफ (8) = एफ (4) * एफ (4)% primo1 = 1 * 1% 35 = 1
  • एफ (16) = एफ (8) * एफ (8)% primo1 = 1 * 1% 35 = 1
  • एफ (32) = एफ (16) * एफ (16)% primo1 = 1 * 1% 35 = 1
  • Primo1 - 2 का बाइनरी रूपांतरण करता है
  • 35 -2 = 33 (10001) आधार 2
  • IMI1 = एफ (33) = एफ (32) * एफ (1) मॉड 35
  • IM1 = एफ (33) = 1 * 27 मॉड 35
  • IM1 = 27
  • आईएम 2 के लिए:
  • एफ (1) = प्राइम 1% प्राइमो 2 = 35% 97 = 35
  • एफ (2) = एफ (1) * एफ (1)% primo2 = 35 * 35 मोड 97 = 61
  • एफ (4) = एफ (2) * एफ (2)% प्राइमो 2 = 61 * 61 मोड 97 = 35
  • एफ (8) = एफ (4) * एफ (4)% प्राइमो 2 = 35 * 35 मोड 97 = 61
  • एफ (16) = एफ (8) * एफ (8)% प्राइमो 2 = 61 * 61 मोड 97 = 35
  • एफ (32) = एफ (16) * एफ (16)% प्राइमो 2 = 35 * 35 मोड 97 = 61
  • एफ (64) = एफ (32) * एफ (32)% प्राइमो 2 = 61 * 61 मोड 97 = 35
  • एफ (128) = एफ (64) * एफ (64)% primo2 = 35 * 35 मोड 97 = 61
  • प्राइमो 2 का बाइनरी रूपांतरण प्रदर्शन - 2
  • 97 - 2 = 95 = (1011111) आधार 2
  • IM2 = (= (एफ (64) * एफ (16)% 97) * एफ (8)% 97) * एफ (4)% 97) * एफ (2)% 97) * एफ (1)% 97 )
  • IM2 = ((((35 * 35)% 97) * 61)% 97) * 35% 97) * 61% 97) * 35% 97)
  • आईएम 2 = 61
  • छवि शीर्षक वाला शीर्षक देखें अगर नंबर प्राइज चरण 13 है
    5
    गणना करें (डेटा 1 * primo2 * IM1 + डेटा 2 * primo1 * IM2)% (primo1 * primo2)
  • उत्तर = (1 * 97 * 27 + 2 * 35 * 61)% (97 * 35)
  • उत्तर = (2619 + 4270)% 3395
  • उत्तर = 99
  • छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 14 है
    6
    सत्यापित करें कि "primo1" एक प्रमुख संख्या नहीं है।
  • गणना करें (उत्तर - डेटा 1)% primo1
  • 99 -1% 35 = 28
  • चूंकि 28 0 से अधिक है, इसका मतलब है कि 35 कोई प्रमुख संख्या नहीं है।
  • छवि का शीर्षक है कि अगर नंबर प्राइज चरण 15 है
    7
    जांचें कि क्या primo2 एक प्रमुख संख्या है
  • गणना करें (उत्तर - डेटा 2)% primo2
  • 99 - 2% 97 = 0
  • चूंकि 0 0 के बराबर है, इसका मतलब है कि 97 शायद एक प्रमुख संख्या है।
  • छवि शीर्षक वाला शीर्षक देखें अगर नंबर प्राइज चरण 16 है

    Video: नरेगा मजदूरी बैंक खाते में पहुंची या नहीं कैसे पता करें पैसा कहां पर फंसा हुआ है

    8
    कम से कम दो बार से 1 से 7 चरणों को दोहराएं।
  • यदि चरण 7 में आपको 0 मिलता है:
  • एक अलग "primo1" का उपयोग करें, जहां primo1 एक प्रमुख संख्या नहीं है।
  • एक अलग primo1 का उपयोग करें, जहां primo1 एक वास्तविक संख्या नहीं है। इस स्थिति में, चरण 6 और 7 को 0 के बराबर होना चाहिए।
  • डेटा 1 और डेटा 2 के लिए विभिन्न डेटा बिंदुओं का उपयोग करें।
  • यदि चरण 7 हमेशा एक परिणाम के रूप में 0 देता है, तो एक बहुत बड़ी संभावना है कि primo2 एक प्रमुख संख्या है।
  • कुछ मामलों में, चरण 1 से 7 विफल हो सकते हैं यदि पहली संख्या प्रधान नहीं है और दूसरा संमिश्र संख्या "प्राइमियो 1" का कारक है। यह सभी मामलों में काम करता है जहां दोनों नंबर प्राइम हैं।
  • कारण यह है कि चरण 1 7 में दोहराया जाता है क्योंकि वहाँ कुछ अवसरों हैं कि हालांकि primo1 और primo2 यौगिक होते हैं, चरण 7 अभी भी 0 में, परिणाम से किसी एक की या दोनों नंबरों के लिए। हालांकि, इन परिस्थितियों दुर्लभ हैं। जब एक अलग संयुक्त संख्या में primo1 परिवर्तित, अगर primo2 प्रधानमंत्री नहीं है, यह निश्चित रूप से शून्य कदम 7 में हो जाएगा मामले में जहां "primo1" एक कारक primo2 है को छोड़कर, रूढ़ अंक हमेशा शून्य के बराबर हो जाएगा चरण 7

    • युक्तियाँ

    • 168 रूढ़ अंक 1000 की तुलना में कम कर रहे हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
    • यद्यपि अस्थायी विभाजन पद्धति बड़ी संख्या में विशिष्ट अन्य परिष्कृत विधियों की तुलना में धीमी है, लेकिन यह अभी भी छोटी संख्या के लिए बहुत ही कुशल है। यहां तक ​​कि यह जानने के लिए कि बड़ी संख्या में चचेरे भाई हैं या नहीं, इस घटना में अधिक उन्नत पद्धति का उपयोग करने से पहले, इन कारकों को नहीं मिला है, पहले सबसे पहले छोटे कारकों की जांच करना असामान्य नहीं है।

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