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तात्कालिक गति की गणना कैसे करें

गति को किसी वस्तु की गति के रूप में परिभाषित किया जाता है। कई आम स्थितियों में, गति हम समीकरण वी = एस / टी, जहां "वी" गति है का उपयोग खोजने के लिए, "एस" वस्तु और "टी" की प्रारंभिक स्थिति से बदलाव किया गया है बीता हुआ समय के बराबर है। हालांकि, तकनीकी रूप से यह केवल गति देता है अपनी यात्रा के दौरान ऑब्जेक्ट का औसत गणना से, किसी वस्तु के गति को किसी भी समय इसकी यात्रा के दौरान निर्धारित करना संभव है। इसे के रूप में जाना जाता है

तात्कालिक वेग और समीकरण से परिभाषित किया गया है वी = (डी एस) / (डीटी) या, दूसरे शब्दों में, ऑब्जेक्ट की औसत वेग के समीकरण का व्युत्पन्न।

चरणों

भाग 1
तात्कालिक वेग की गणना करें

छवि शीर्षक तुरन्त वेग की गणना चरण 1
1
विस्थापन के संदर्भ में गति के लिए एक समीकरण से प्रारंभ करें। किसी वस्तु के तात्कालिक गति को खोजने के लिए, हमें पहले एक समीकरण होना चाहिए जो समय पर एक निश्चित बिंदु पर हमें अपनी स्थिति (विस्थापन के संदर्भ में) बताता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण में वेरिएबल होना चाहिए रों एक अलग पक्ष पर और टी दूसरे (जरूरी नहीं कि पृथक), इस तरह से:

s = -1.5t + 10t + 4

  • इस समीकरण में, वेरिएबल्स हैं:
    विस्थापन = s . ऑब्जेक्ट अपनी प्रारंभिक स्थिति से यात्रा की दूरी है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु 10 मीटर आगे और 7 मीटर की दूरी पर चलता है, तो इसकी कुल विस्थापन 10 - 7 = है 3 मीटर (नहीं 10 + 7 = 17 मीटर)।
    समय = टी . इसकी व्याख्या करने की आवश्यकता नहीं है आमतौर पर, इसे सेकंड में मापा जाता है
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    समीकरण के व्युत्पन्न ले लो उत्पन्न एक समीकरण का सिर्फ एक अलग समीकरण है जो आपको समय पर किसी भी बिंदु पर अपनी ढलान बताता है। विस्थापन सूत्र के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, डेरिवेटिव को खोजने के लिए इस सामान्य नियम के साथ फ़ंक्शन को अलग करें: यदि y = एक * x, व्युत्पन्न = एक * n * x. यह नियम समीकरण के "टी" तरफ सभी शर्तों पर लागू होता है।
  • दूसरे शब्दों में, बाएं से दाएं, समीकरण के "टी" तरफ से शुरू करें हर बार जब आप "टी" तक पहुंचते हैं, तो घातांक से 1 का घटाना और मूल प्रतिपादक द्वारा संपूर्ण अवधि को गुणा करना। सभी निरंतर शब्दों (शब्दों में "टी" नहीं है) गायब हो जाएंगे क्योंकि वे 0 गुणा करते हैं। असल में, यह प्रक्रिया उतनी मुश्किल नहीं है जितनी लगता है- हम एक उदाहरण के रूप में पिछले चरण में समीकरण प्राप्त करते हैं:

    s = -1.5t + 10t + 4
    (2) -1.5t + (1) 10 टी + (0) 4 टी
    -3 टी + 10 टी
    -3 टी +10

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    "एस" को "डीएस / डीटी" के साथ बदलें यह साबित करने के लिए कि हमारा नया समीकरण पहले वाला एक व्युत्पन्न है, हम "एस" को प्रतिरूप "डीएस / डीटी" के साथ बदल देंगे। तकनीकी रूप से, इस संकेतन का अर्थ है "टी के संबंध में एस के व्युत्पन्न" इस बारे में सोचने के लिए एक आसान तरीका यह है कि बस डीएस / डीटी पहले समीकरण में किसी भी बिंदु का ढलान है। उदाहरण के लिए, s = -1.5t + 10t + 4 द्वारा टी = 5 पर बनाई गई रेखा के ढलान को खोजने के लिए, हम अपने डेरिवेटिव में "टी" के लिए "5" का मान दे देंगे।
  • हमारे वर्तमान उदाहरण में, हमारा अंतिम समीकरण इस तरह दिखना चाहिए:

    डीएस / डीटी = -3 टी +10

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    तात्कालिक वेग को खोजने के लिए नए समीकरण के लिए "टी" का मूल्य दें अब जब आपके पास व्युत्पन्न समीकरण होता है, तो समय पर किसी भी समय तात्कालिक वेग खोजना आसान होगा। आपको केवल "टी" के लिए एक मान चुनें और इसे अपने व्युत्पन्न समीकरण में बदलें। उदाहरण के लिए, अगर हम टी = 5 पर तात्कालिक वेग खोजना चाहते हैं, बस की जगह लेंगे "5" "टी" के साथ व्युत्पन्न डी एस में / dt = -3 + 10 तब समीकरण इस प्रकार का समाधान:

    डीएस / डीटी = -3 टी +10
    डीएस / डीटी = -3 (5) +10
    डीएस / डीटी = -15 + 10 = -5 मीटर प्रति सेकंड

  • ध्यान रखें कि योजना में हम लेबल "मीटर प्रति सेकंड" का उपयोग करते हैं चूंकि हम मीटर के संदर्भ में विस्थापन से निपटते हैं और समय के साथ-साथ सेकंड के लिए, और गति सामान्य रूप से समय के साथ बस विस्थापन है, इसलिए यह लेबल पर्याप्त है।

    • भाग 2
    ग्राफ के साथ तात्कालिक गति का आकलन करें

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    समय के माध्यम से वस्तु का विस्थापन ग्राफ़ करें पिछले खंड में, हमने उल्लेख किया है कि डेरिवेटिव बस सूत्र हैं जो हमें उस समीकरण के लिए किसी भी बिंदु पर ढलान खोजने की इजाजत देता है जिसके लिए आपने व्युत्पन्न किया वास्तव में, यदि आप किसी ऑब्जेक्ट के ग्राफ़िक में एक पंक्ति के विस्थापन का प्रतिनिधित्व करते हैं, किसी भी बिंदु पर कहा लाइन की ढलान उस बिंदु पर ऑब्जेक्ट के तात्कालिक वेग के बराबर होगा।
    • किसी ऑब्जेक्ट के विस्थापन को ग्राफ़ करने के लिए, उस एक्सप्लसमेंट का प्रतिनिधित्व करने के लिए समय और "y" अक्ष का प्रतिनिधित्व करने के लिए "x" अक्ष का उपयोग करें। तो, अंक का पता लगाओ जब आप अपने विस्थापन समीकरण में "टी" को मान देते हैं, तो अपने उत्तरों के लिए "s" के मान प्राप्त करें और ग्राफ़ में अंक टी, एस (x, y) को चिह्नित करें।
    • ध्यान दें कि आलेख "x" अक्ष के नीचे हो सकता है। यदि ऑब्जेक्ट के आंदोलन का प्रतिनिधित्व करने वाला रेखा "x" अक्ष से नीचे आता है, तो वह वस्तु की गति को उसके मूल के नीचे दर्शाएगा। सामान्य तौर पर, ग्राफ़ "y" अक्ष के नीचे नहीं बढ़ेगा, इसलिए हम हमेशा उन वस्तुओं की गति को मापते हैं जो समय के पीछे आगे बढ़ते हैं!
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    एक बिंदु पी और एक बिंदु Q चुनें जो लाइन पर ढलान के करीब हैं एक बिंदु पी में एक पंक्ति के ढलान को खोजने के लिए, हमने "एक सीमा ले लो" नामक एक चाल का इस्तेमाल किया। यह वक्र रेखा पर दो अंक (क्यू, एक बिंदु यह के करीब से अधिक पी) ले रहे हैं और पी और क्यू छोटा है के बीच की दूरी के रूप में फिर से और फिर उन्हें जोड़ने लाइन की ढलान को खोजने के शामिल है।
  • मान लीजिए कि हमारे विस्थापन लाइन में अंक (1,3) और (4,7) हैं इस मामले में, अगर हम (1,3) में ढलान खोजना चाहते हैं, तो हम इसे स्थापित कर सकते हैं (1,3) = पी और (4.7) = क्यू.
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    पी और क्यू के बीच ढलान खोजें पी और क्यू के बीच ढलान पी और क्यू के लिए "x" के मूल्यों में अंतर पर पी और क्यू के लिए "y" के मूल्यों में अंतर है। दूसरे शब्दों में, एच = (औरक्यू - औरपी) / (एक्सक्यू - एक्सपी), जहां एच दो बिंदुओं के बीच ढलान है हमारे उदाहरण में, पी और क्यू के बीच की ढलान है:

    एच = (औरक्यू - औरपी) / (एक्सक्यू - एक्सपी)

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    एच = (7 - 3) / (4 - 1)
    एच = (4) / (3) = 1.33

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    इस चरण को दोबारा दोहराएं, क्यू को Q के करीब और करीब ले जायें। आपका लक्ष्य पी और क्यू के बीच की दूरी को छोटा और छोटा बनाना है जब तक आप एक बिंदु तक नहीं पहुंचते। छोटे पी और क्यू के बीच की दूरी, करीब बिंदु पर ढलान के छोटे रेखा खंडों की ढलान पी, के यह, हमारे समीकरण को कई बार कर अंक (2,4.8) का उपयोग करते हैं (1.5,3.95 ) और (1.25,3.4 9) प्रश्न के लिए और पी के लिए हमारे मूल बिंदु (1,3):

    क्यू = (2,4.8): एच = (4.8 - 3) / (2 - 1)
    एच = (1.8) / (1) = 1.8

    क्यू = (1.5,3.95): एच = (3. 9 5) / (1.5 - 1)

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    एच = (.95) / (.5) = 1.9

    क्यू = (1.25.3.4 9): एच = (3.4 9 - 3) / (1.25 -1)
    एच = (.49) / (.25) = 1.96

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    रेखा पर एक अनंत अंतराल के लिए ढलान का आकलन करें। क्यू तेजी पी दृष्टिकोण के रूप में, एच करीब है और ढलान के करीब P बिंदु पर अंत में, एक असीम छोटे अंतराल में है, एच पी में ढलान के बराबर है क्योंकि हम नहीं कर सकते एक अनंत अंतराल को मापने या उसकी गणना करने के लिए, हम केवल पी पर ढलान का अनुमान लगाते हैं, जब वह हमारे द्वारा परीक्षण किए गए बिंदुओं से मुक्त हो।
  • हमारे उदाहरण में, जैसा कि हम Q से पी के पास जाते हैं, हम एच के लिए 1.8, 1.9, और 1.96 के मूल्य प्राप्त करते हैं। चूंकि ये नंबर 2 से संपर्क करने लगते हैं, हम यह कह सकते हैं कि 2 यह पी में ढलान के लिए एक अच्छा अनुमान है
  • याद रखें कि एक बिंदु के किसी बिंदु पर ढलान उस बिंदु पर रेखा के समीकरण के व्युत्पन्न के बराबर है। चूंकि हमारी रेखा समय के साथ ऑब्जेक्ट के विस्थापन को दर्शाती है, और जैसा कि हमने पिछले भाग में देखा है, किसी वस्तु का तात्कालिक वेग किसी निश्चित बिंदु पर इसके विस्थापन के व्युत्पन्न है, हम यह कह सकते हैं कि 2 मीटर प्रति सेकंड यह टी = 1 पर तात्कालिक वेग के लिए एक अच्छा अनुमान है

    • भाग 3
    उदाहरण

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    विस्थापन समीकरण s = 5t - 3t + 2t + 9 के बाद से टी = 4 पर तात्कालिक वेग खोजें यह हमारे उदाहरण के समान है, पहले खंड में, सिवाय इसके कि हम द्विघात समीकरण के बजाय एक घन समीकरण के साथ काम करते हैं, इसलिए हम इसे उसी तरीके से हल कर सकते हैं।
    • सबसे पहले, हम अपने समीकरण को व्युत्पन्न करेंगे:

      s = 5t - 3t + 2t + 9
      s = (3) 5 टी - (2) 3 टी + (1) 2 टी
      15 टी - 6 टी + 2 टी - 6 टी + 2

    • फिर, हम टी (4) के लिए मूल्य देंगे:

      s = 15t - 6t + 2
      15 (4) - 6 (4) + 2
      15 (16) - 6 (4) + 2
      240 - 24 + 2 = 22 मीटर प्रति सेकंड

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    विस्थापन समीकरण s = 4t - t के लिए (1,3) में तात्कालिक वेग खोजने के लिए एक ग्राफ़िकल अनुमान का उपयोग करें इस समस्या के लिए, हम हमारी बिंदु पी के रूप में (1,3) का उपयोग करेंगे, लेकिन हमें कुछ अन्य नज़दीकी बिन्दुओं को हमारे क्यू पॉइंट के रूप में उपयोग करने के लिए मिलना होगा। इसलिए, एच के मानों को खोजने और अनुमान लगाने के मामले में यह सिर्फ एक मामला है।
  • सबसे पहले, आइए हम क्यू के अंक टी = 2, 1.5, 1.1 और 1.01 में देखें।

    s = 4t - टी

    टी = 2: s = 4 (2) - (2)
    4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, फिर क्यू = (2,14)

    टी = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
    4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, फिर क्यू = (1.5.7.5)

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    टी = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
    4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, फिर क्यू = (1.1,3.74)

    टी = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
    4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, फिर क्यू = (1.01.3.0704)

  • उसके बाद, एच के मान खोजें:

    क्यू = (2,14): एच = (14 - 3) / (2 - 1)
    एच = (11) / (1) = 11

    क्यू = (1.5.7.5): एच = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
    एच = (4.5) / (.5) = 9

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    क्यू = (1.1,3.74): एच = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
    एच = (.74) / (। 1) = 7.3

    क्यू = (1.01.3.0704): एच = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
    एच = (.0704) / (। 01) = 7.04

  • चूंकि एच के मूल्य 7 के करीब लगते हैं, इसलिए हम यह कह सकते हैं 7 मीटर प्रति सेकंड यह तात्कालिक वेग के लिए एक अच्छा अनुमान है (1,3)।

    • युक्तियाँ

    • त्वरण (समय के साथ वेग में परिवर्तन) खोजने के लिए, विस्थापन समारोह के लिए व्युत्पन्न समीकरण प्राप्त करने के लिए पहले भाग की विधि का उपयोग करें। फिर, एक और व्युत्पन्न ले लो, लेकिन इस बार, व्युत्पन्न समीकरण में से एक। यह आपको एक समीकरण देगा जिसमें आपको एक क्षण में त्वरण मिलना चाहिए। आपको बस इतना करना है कि यह समय के लिए मूल्य दे रहा है।
    • संबंधित वाई (विस्थापन) एक्स (समय) समीकरण, काफी सरल हो सकता है उदाहरण के लिए, वाई = 6X + 3. इस मामले में, ढलान स्थिर है और एक व्युत्पन्न है, जो 6 खोजने की जरूरत नहीं है, वाई = mx + b एक बुनियादी लाइन रेखांकन के लिए मॉडल के अनुसार।
    • विस्थापन दूरी की तरह है लेकिन इसकी स्थापना की दिशा है, जो इसे एक सदिश बनाता है और पैमाने पर गति प्रदान करता है। विस्थापन नकारात्मक हो सकता है जबकि दूरी हमेशा सकारात्मक रहेगी।
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