फ्यूचर को फ़ंक्शन के रूपांतर की गणना कैसे करें

फूरियर रूपांतरण को आसानी से कब्जा कर लिया जा सकता है, अगर ध्यान से संगठित लय के साथ कुछ कदम उठाए जाते हैं फूरियर रूपांतरण आधुनिक सभ्यता के कई हिस्सों का आधार है। इसमें मोबाइल संचार और डिजिटल फोटोग्राफी, पराबैंगनीकिरण और प्रकाशिकी शामिल हैं। फूरियर ट्रांस्लेशन ने अन्य उपकरणों में बांट दिया है, जैसे कि असतत फूरियर रूपांतरण, तरंगिका (जिसे जेपीएजी और एमपीगे फाइल में इस्तेमाल किया जाता है), पैटर्न मान्यता, वित्त, चिकित्सा स्कैन और कई अन्य उपयोग।

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चरणों
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चरणों

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जानें कि आवधिक फ़ंक्शन क्या है आवधिक फ़ंक्शन दोबारा ज्ञात अंतराल में उसके आकार को दोहराता है। यह है, एफ ( टी) = एफ ( टी + nT), जहाँ n कोई पूर्ण संख्या है।
इन अंतराल को अवधि कहा जाता है। पिछले संबंध में, टी यह अवधि है

फूरियर के मूल विचार को अपनी भाषा में बदलना सीखें

किसी भी आवधिक फ़ंक्शन को विघटित किया जा सकता है, यह साधारण अवधि के साथ एक निश्चित संख्या के बुनियादी sinusoid फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रत्येक sinusoid फ़ंक्शन में एक पूर्णांक की आवृत्ति होती है जो कि बुनियादी आवृत्ति का एक बहु है।

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उपरोक्त समीकरण का कहना है कि किसी भी आवधिक फ़ंक्शन को कुल राशि के रूप में लिखा या विस्तार किया जा सकता है:

एक स्थिर मूल्य, 1/2को₀, भी डीसी मूल्य कहा जाता है, और sinusoidal कार्यों की एक संख्या। मूल कार्य के आधार पर, विस्तार का हिस्सा शून्य हो सकता है।

ω₀ मूल परिपत्र आवृत्ति है जिसे आसानी से मूल अवधि से गणना की जा सकती है टी.

यह केवल गणना करने के लिए रहता है को₀ और एक सूत्र जो पूरे बनाता है को_n और पूरे ख_n. आप sinusoid कार्य की orthogonality संपत्ति का उपयोग कर ऐसा करते हैं।

कार्यों का अर्थ जानें "ओर्थोगोनल"। ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस एक दूसरे के लिए लंबवत हैं। इसका मतलब यह है कि, यदि आप किसी भी दो फ़ंक्शन लेते हैं, तो हम कहते हैं एफ ( टी) और जी ( टी), उनमें से एक समूह का, फिर:

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ओर्थोगोनालिटी

साइनसॉइड फ़ंक्शंस ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन के समान समूह हैं।

सीधा वैक्टर की बुनियादी धारणा है, जहां अदिश उत्पाद शून्य है के साथ इस की तुलना करें। स्केलर उत्पाद दो वैक्टर के जोड़ में घटक उत्पादों का योग है। यहाँ, राशि के बजाय, एक अभिन्न गणना की जानी चाहिए।

एक के बीच का अंतर पता है "वेक्टर" और एक "phasor"।

एक सदिश किसी अन्य बिंदु पर एक सीधी रेखा में एक बिंदु रखता है।

एक फ़सर एक निश्चित परिपत्र आवृत्ति के साथ एक बिंदु के चारों ओर सदिश घूमता है ω. एक फासर एक घूर्णन वेक्टर है।

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ध्यान दें कि जब एक निश्चित-लंबाई वाला एक बिंदु के आसपास घूम रहा है, तो इसका प्रक्षेपण, उसकी असली छाया पर छाया, धीरे-धीरे अधिकतम मूल्य से शून्य तक और फिर अधिकतम नकारात्मक संख्या में और फिर शून्य पर वापस और वापस एक अधिकतम सकारात्मक मूल्य

काल्पनिक अक्ष पर छायांकित घूर्णन सदिश के प्रक्षेपण की लंबाई, एक sinusoidal तरीके से बदलता है।

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परिसर फ़ॉर्म में फूरियर सीरीज़ का शीर्षक चित्र

यह निष्कर्ष निकाला है कि एक sinusoid एक phasor के रूप में लिखा जा सकता है और, इस तरह, यह एक फूरियर श्रृंखला को संभालना आसान है इसकी तुलना सिन्सुयडल फॉर्म से करें के बारे में सभी चिंताओं को₀, को_n और ख_n उन्हें निकाल दिया गया है केवल एक कारक है को_{कश्मीर} कि गणना की जानी चाहिए यह एक सरल इंटीग्रल की गणना करके किया जाता है एफ ( टी) जो एक ही समय में सभी गुणांक प्रदान करता है।

विस्तार के लिए व्याख्या करें एफ ( टी). इस विस्तार में क्या ज्ञात नहीं है?

आपको कारकों की अनंत संख्या की गणना करने की आवश्यकता है को_{कश्मीर}.

सभी कारक को_{कश्मीर} की आसानी से गणना की जा सकती है एफ ( टी) परिणामस्वरूप उन्हें पूरे सेट के रूप में देने के लिए।

अभिव्यक्ति के बजाय "सेट", संकेतन {a_{कश्मीर} }।

{एक_{कश्मीर} } के स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है एफ ( टी).

एफ ( टी) वास्तव में विभिन्न आवृत्तियों के घूर्णन की अनंत संख्या का संश्लेषण होता है जो आवृत्तियों के साथ घूर्णन होता है जो मूल आवृत्ति के अनुरूप होते हैं ω₀ की एफ ( टी) दोनों दिशाओं में, दक्षिणावर्त और वामावर्त, क्योंकि कश्मीर नकारात्मक पूर्ण संख्याओं के साथ-साथ सकारात्मक वालों के बीच भटकते हैं।

एक श्रृंखला के विस्तार के बजाय एक परिणत के रूप में सूत्रों की जोड़ी को देखो। जब आपके पास हो एफ ( टी), तो आपके पास है को_{कश्मीर}. और, इसके विपरीत, जब आपके पास हो को_{कश्मीर}, आपको मिलेगा एफ ( टी)। के मूल्य को_{कश्मीर} बदल रहे हैं एफ ( टी)। का मूल्य एफ ( टी) का व्युत्क्रम परिणत है को_{कश्मीर}. इसे इस रूप में लिखा गया है:

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ध्यान दें: ऐसा लग सकता है कि दो हैं डोमेन. एफ ( टी) समय डोमेन में है, लेकिन कारक को_{कश्मीर} वे पूर्णांक के क्षेत्र में हैं इसलिए, फूरियर विस्तार एक डोमेन को दूसरे में बदल देता है, और इसके विपरीत।

इस कारण से, यह कहा जाता है कि यह एक तब्दील हो गया है "निरंतर समय पर"।

जो लोग लहरों का अध्ययन करते हैं वे समय में सतत लहर का पालन करने के लिए एक आस्टसीलस्कप का उपयोग करते हैं और सवाल में लहर की रेखा या स्पेक्ट्रा का निरीक्षण करने के लिए स्पेक्ट्रम विश्लेषक का उपयोग करते हैं।

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सबसे अक्सर उदाहरण देखें। यह एक आयताकार अंधा होता है जो नियमित रूप से खुलता है और बंद करता है या यह नियमित रूप से एक घटना पर एक समय टिकट रखने के द्वारा एक घड़ी हो सकता है। यह निश्चित अवधि के दालों की एक ट्रेन है

यह सबसे आसान उदाहरण एक हाई स्कूल में पथरी के ज्ञान का उपयोग कर की गणना कर सकते है, क्योंकि, व्यापक भीतर, एफ ( टी) एक भाग के लिए एक के बराबर है और दूसरे भागों के लिए शून्य के बराबर है, और आपको एक घातीय कार्य के अभिन्न अंग की गणना करनी चाहिए, जो स्वयं के गुणांक से स्वतंत्र रूप से समान है। उस स्तर पर, आप एक जटिल घातीय कार्य को एक सिन्युएड में परिवर्तित करने से परिचित हैं। क्या रहता है जो एक समारोह है sinc. केवल सिंक ( x) = बिना ( x) / एक्स। यह एक sinusoidal फ़ंक्शन के पैमाने को संशोधित करता है जब तक कि वह अपने कोण तक नहीं पहुंचता, एक प्रतिशत के समान।

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वक्र के रूप में सिंक समारोह

की वक्र आरेखित करें |कोके | अपने दर्दनाक कूदता की सराहना करने के लिए

प्रत्येक "भाग" सिंक फ़ंक्शन कुछ निश्चित स्पेक्ट्रम लाइनों से भरा हुआ है।

प्रत्येक पल्स को बनाओ "गाड़ी" संकरा होना स्पेक्ट्रम में लाइनों की संख्या को बढ़ाता है, और यह अधिक घना हुआ दिखता है और ऐसा लगता है कि यह वास्तव में एक सतत सिंक फ़ंक्शन थे और अब असतत एक नहीं है।

ध्यान दें कि अब आप एक दो-डोमेन ट्रांस्फ़ॉर्म के रूप में आवधिक फ़ंक्शन के फूरियर श्रृंखला के विस्तार को देख रहे हैं। क्या अवशेष बनेगा जो एक गैर-आवधिक समारोह का परिवर्तन है।

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आपकी अपेक्षा को अनुमोदित करें कि एक गैर-सामान्य अवधि का विस्तार एक योग के बजाय एक अभिन्न रूप के रूप में होगा।

आप सही हैं कि यह है फूरियर अभिन्न अंग के विपरीत फूरियर श्रृंखला

इसलिए, समय में निरंतर कार्य के लिए फूरियर परिणत एक फूरियर श्रृंखला या फूरियर इंटीग्रल हो सकती है।

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एक आयताकार पल्स पर विचार करें। आप उस पल्स को देख सकते हैं अगर कोई आयताकार अंधे खुल जाता है और केवल एक बार बंद करता है। या अगर स्टेपर मोटर चालू हो और फिर बंद हो जाए

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