अपोलोनियन चलनी कैसे करें
एपोलोनियस चलनी एक प्रकार की छवि है भग्न
जो एक बड़े वृत्त के भीतर निहित छोटे और छोटे हलकों के संग्रह से बनता है एक अपोलोनियस चलनी का प्रत्येक चक्र होता है आसन्न सर्कल के स्पर्शरेखा, दूसरे शब्दों में, वे अन्तर्निहित अंक (असीम रूप से छोटे) में संपर्क करते हैं। इसका नाम ग्रीक गणितज्ञ अपोलोनियस ऑफ पेर्गा के कारण है। इस प्रकार के फ्रैक्टल को एक सुंदर और हड़ताली छवि बनाने के लिए जटिलता के उचित स्तर के साथ खींचा जा सकता है (हाथ या कंप्यूटर द्वारा) अगला, शुरू करने के लिए पहले चरण को देखेंचरणों
भाग 1
प्रमुख अवधारणाओं को समझेंयदि आप केवल ड्राइंग में दिलचस्पी रखते हैं अपोलोनियस की एक छलनी, फ्रैक्टल के पीछे गणितीय सिद्धांतों पर पूरी तरह से सटीक जांच करने के लिए आवश्यक नहीं है हालांकि, यदि आप विषय पर बेहतर समझ रखना चाहते हैं, तो उन विभिन्न अवधारणाओं की परिभाषाओं को समझना महत्वपूर्ण है जिन्हें हम उनके बारे में बात करते समय उपयोग करेंगे।
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प्रमुख शब्दों को परिभाषित करें निम्न विवरणों में निम्नलिखित शब्दों का प्रयोग किया जाता है:
- अपोलोनियो छलनी: कई नामों में से एक के साथ हम एक प्रकार की फ्रैक्टल के बारे में जानते हैं जो बड़े सर्कल में संलग्न मंडल की एक श्रृंखला से बना है और आसन्न सर्कल के स्पर्शरेखा है। इसे "लीबनिज़ पैकेजिंग" या "अपोलोनियन पैकेजिंग" के रूप में भी जाना जाता है
- एक वृत्त का त्रिज्या: एक सर्कल के केंद्र से उसके किनारे तक की दूरी आम तौर पर वेरिएबल सौंपा जाता है आर।
- एक चक्र की वक्रता: त्रिज्या के सकारात्मक या नकारात्मक व्युत्क्रम, या ± 1 / आर आंतरिक वक्रता के साथ काम करते समय चक्र की बाह्य वक्रता के साथ काम करते समय वक्रता सकारात्मक होती है।
- स्पर्शरेखा: एक शब्द, लाइनों, विमानों और आंकड़ों पर लागू होता है जो एक अन्तर्निहित बिंदु पर काटते हैं। अपोलोनियस छलनी में लागू होता है, यह इस तथ्य को संदर्भित करता है कि मंडल केवल एक बिंदु पर दूसरे आसन्न हलकों के साथ संपर्क करते हैं। ध्यान रखें कि कोई अंतर नहीं है, स्पर्शरेखा लाइनें ओवरलैप नहीं होती हैं।
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डिस्कार्ट्स प्रमेय को समझें यह एक फार्मूला है जो अपोलोनियस छलनी के चक्रों के आकार की गणना के लिए उपयोगी है। यदि हम तीन सर्किलों के वक्रताएं (1 / आर) को परिभाषित करते हैं, तो या तो एक, बी और सी, क्रमशः, प्रमेय हमें बताता है कि सर्कल के वक्रता (या सर्कल) तीन से स्पर्शरेखा है, जिसे हम परिभाषित करते हैं डी, है: d = a + b + c ± 2 (का वर्गमूल (a × b + b × c + c × a)).
भाग 2
अपोलोनियो की चलनी बनाएंअपोलोनियस चीयज़ तेजी से छोटे हलकों के सुंदर भग्न व्यवस्था का रूप लेते हैं। गणितीय, उनके पास अनंत जटिलता है, लेकिन यदि आप कंप्यूटर ड्राइंग प्रोग्राम या पारंपरिक ड्राइंग टूल्स का उपयोग करते हैं, तो जल्द या बाद में आप उस बिंदु पर पहुंच जाएंगे जहां छोटी मंडलियां आकर्षित करना असंभव है। ध्यान रखें कि जितनी अधिक सटीक आपकी मंडलियां हैं, वे जितनी अधिक आपकी स्क्रीन में फिट होती हैं।
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अपने डिजिटल या एनालॉग ड्राइंग टूल्स को इकट्ठा करें अगले चरण में हम अपनी खुद की सरल Apollonius चलनी कर देगा यह हाथ से या कंप्यूटर द्वारा करना संभव है किसी भी स्थिति में, आप पूरी तरह गोल हलकों को आकर्षित करना चाहते हैं। यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि अपोलोनियस की छलनी के भीतर प्रत्येक चक्र आसन्न सर्किलों के बिल्कुल स्पर्शरेखा है। अगर मंडल थोड़ा गलत तरीके से गुमराह कर रहे हैं तो आप अपने अंतिम उत्पाद को "बर्बाद" कर सकते हैं।
- यदि आप इसे किसी कंप्यूटर पर करते हैं, तो आपको एक प्रोग्राम की आवश्यकता होगी जो आपको एक केंद्रीय बिंदु से आसानी से एक निश्चित त्रिज्या के साथ हलकों को आकर्षित करने की अनुमति देता है। Gfig मुक्त चित्र संपादन प्रोग्राम जीआईएमपी के वैक्टर के साथ एक आरेखण विस्तार है और आप इसे विभिन्न ड्राइंग कार्यक्रमों (प्रासंगिक लिंक के लिए सामग्री अनुभाग देखें) के साथ भी उपयोग कर सकते हैं। आप को एक कैलकुलेटर एप्लिकेशन और वर्ड प्रोसेसिंग प्रोग्राम या वक्र और रेडीआई पर इंगित करने के लिए वास्तविक नोटपैड की आवश्यकता हो सकती है।
- यदि आप इसे हाथ से करते हैं, तो आपको एक कैलकुलेटर (वैज्ञानिक या अधिमानतः ग्राफिक), एक पेंसिल, एक कम्पास, एक शासक (नोट्स बनाने के लिए अधिमानतः एक मिलीमीटर पैमाने, ग्राफ पेपर और नोटबुक की आवश्यकता होगी।
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एक बड़े वृत्त के साथ शुरू करें आपका पहला काम आसान है, बस एक महान पूरी तरह गोल सर्कल खींचना बड़ा चक्र, आपकी स्क्रीन अधिक जटिल होगी। तो इसे बड़ा बनाने की कोशिश करें क्योंकि पेपर की अनुमति या इतनी बड़ी है ताकि इसे आपके ड्राइंग कार्यक्रम की खिड़की में आसानी से देखा जा सके।
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साइड पर मूल और स्पर्शरेखा के अंदर एक छोटी सी सर्कल बनाएँ फिर, पहले के अंदर एक और सर्कल को आकर्षित करें, यह मूल से छोटा होना चाहिए, लेकिन अभी भी बहुत बड़ी है दूसरे सर्कल का सटीक आकार आप पर निर्भर करता है, कोई सही आकार नहीं है। हालांकि, हमारे उद्देश्यों के लिए, हम अपने दूसरे चक्र को आकर्षित करने जा रहे हैं ताकि यह हमारे बड़े बाहरी मंडल के ठीक आधे हिस्से तक पहुंच जाए। दूसरे शब्दों में, हम अपने दूसरे चक्र को आकर्षित करने जा रहे हैं जिससे कि केंद्र बिंदु बड़े वृत्त के त्रिज्या का आधा हिस्सा हो।
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छोटे आंतरिक सर्कल के "विपरीत दिशा में" एक समान चक्र बनाएं। इसके बाद हम पहले एक के विपरीत तरफ एक और सर्कल आकर्षित करने जा रहे हैं। इस चक्र को बड़े बाहरी चक्र और छोटे आंतरिक सर्कल के लिए स्पर्शरेखा होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि आपके दो छोटे आंतरिक हलकों को बड़े बाहरी मंडल के केंद्र में बिल्कुल छूना चाहिए।
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आपके अगले मंडलों के आकार को खोजने के लिए डेकार्ट के प्रमेय को लागू करें चलो एक पल के लिए ड्राइंग बंद करो अब जब हमारे छलनी में हमारे तीन चक्र हैं, तो हम अगले चक्र के त्रिज्या को खोजने के लिए डेकार्ट प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं जिसे हम आकर्षित करना चाहते हैं। याद रखें डेकार्ट का प्रमेय है d = a + b + c ± 2 (वर्गमूल (a × b + b × c + c × a)), जहां ए, बी और सी एक दूसरे के स्पर्शरेखा के तीन चक्रों की घुमक्कड़ हैं। तो हमारे अगले सर्कल के त्रिज्या को खोजने के लिए, हमें उन प्रत्येक सर्किलों की वक्रता को खोजना होगा जो हमारे पास अभी तक हैं और इस प्रकार हमारे अगले सर्कल के वक्रता को खोजते हैं, फिर हम इसकी त्रिज्या पा सकते हैं
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मंडलियों का अपना अगला सेट बनाएं अपने अगले दो हलकों को आकर्षित करने के लिए आपको बस त्रिज्या के मूल्य का उपयोग करें याद रखें कि इन मंडलियों के लिए स्पर्शरेखा होना चाहिए जिनके curvatures आपने डेकार्ट्स के प्रमेय में ए, बी और सी के लिए उपयोग किया था। दूसरे शब्दों में, वे मूल मंडली और सर्कल के दूसरे समूह के स्पर्शरेखा होंगे। इन सर्कल के लिए तीन सर्किलों के लिए स्पर्शरेखा होने के लिए, आपको अपने मूल बड़े वृत्त के भीतर क्षेत्र के ऊपर और नीचे एक खुली जगह में आकर्षित करना होगा।
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मंडलियों को जोड़ने के लिए इस तरह जारी रखें चूंकि वे फ्रैक्टल हैं, एपोलोनियस एसईईज़ असीम रूप से जटिल हैं। इसका मतलब यह है कि आप अपनी पसंद के लिए कभी छोटी मंडलियां जोड़ सकते हैं आप केवल अपने उपकरणों की सटीकता (या, यदि आप किसी कंप्यूटर का उपयोग करने जा रहे हैं, अपने ड्राइंग कार्यक्रम पर ज़ूम इन करने की क्षमता से) सीमित हैं। प्रत्येक चक्र, चाहे कितना भी छोटा हो, अन्य तीन सर्किलों के लिए स्पर्शरेखा होना चाहिए। अपनी स्क्रीन के अगले मंडलों को आकर्षित करने के लिए, तीन मंडलियों के curvatures दर्ज करें, जिसमें यह डेसकार्टेस प्रमेय के भीतर स्पर्शरेखा होगा। फिर, अपने सर्कल को सही ढंग से आकर्षित करने के लिए अपने उत्तर का प्रयोग करें (जो आपके नए सर्कल का त्रिज्या होगा)
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एक चुनौती के रूप में, अपने दूसरे सर्कल के आकार को बदलकर असममित अपोलोनियस चलनी बनाने की कोशिश करें। सभी अपोलोनियस चीजें उसी तरह से शुरू होती हैं, फ्रैक्टल के किनारे के रूप में कार्य करने वाली एक बड़ी बाहरी सर्कल के साथ। हालांकि, ऐसा कोई कारण नहीं है कि आपका दूसरा सर्कल जरूरी क्यों है पहले का आधा त्रिज्या होना चाहिए, हम ऐसा करना चुनते हैं क्योंकि यह सरल और समझना आसान है। मज़े के लिए, एक अलग आकार के दूसरे सर्कल के साथ एक छलनी शुरू करने का प्रयास करें यह आपको रोमांचक अन्वेषण पथ पर ले जाएगा।
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