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समान पदों को कैसे मिलाएं

एक क्रांतिकारी अभिव्यक्ति एक बीजीय अभिव्यक्ति है जिसमें एक वर्ग (या क्यूबिक या उच्च ऑर्डर) रूट शामिल है कई भाव अक्सर एक ही नंबर का वर्णन कर सकते हैं भले ही वे बहुत अलग दिखाई देते हैं (उदाहरण के लिए, 1 / (√ (2) - 1) = √ (2) +1)। इसका समाधान एक को परिभाषित करना है "प्रामाणिक रूप" कुछ अभिव्यक्तियों के लिए पसंदीदा यदि दोनों भाव, विहित रूप में, अलग दिखते हैं, तो इसका अर्थ है कि वे वास्तव में समरूप अभिव्यक्ति नहीं हैं। गणितज्ञों ने इस बात पर सहमति जताई है कि विहित रूप में कट्टरपंथी अभिव्यक्ति चाहिए:

  • कणों में भिन्न अंशों से बचें
  • आंशिक घाटियों का प्रयोग न करें
  • भाजकों में कणों से बचें
  • कणों से कणों को गुणा न करें
  • कट्टरपंथियों के नीचे केवल कट्टरपंथी मुक्त शब्दों के होने के कारण

इस के लिए एक व्यावहारिक उपयोग, एकाधिक विकल्प परीक्षा में है। अगर एक परीक्षा में आपने एक समस्या का हल किया है, लेकिन इसका जवाब किसी भी विकल्प से मेल नहीं खाता है, तो इसे कैनन के रूप में सरल बनाने का प्रयास करें क्योंकि परीक्षाओं के लेखकों को आम तौर पर विहित प्रपत्र में जवाब लिखने अगर आप अपने परीक्षा में भी ऐसा ही है, यह महसूस करने के लिए जो जवाब तुम्हारा के बराबर है आसान हो जाएगा। मुफ्त जवाब की परीक्षाओं में, निर्देश "उत्तर सरल" या "सभी कणों को सरल करता है" इसका मतलब है कि विद्यार्थियों को इन चरणों को तब तक लागू करना चाहिए जब तक उत्तर ऊपर बताई गई आवश्यकताओं को पूरा न करें। इसके समीकरण को सुलझाने में कई उपयोग हैं, हालांकि गैर-वैमानिक रूप का उपयोग करके कुछ समीकरणों को हल करना आसान है।

चरणों

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यदि आवश्यक हो, तो कट्टरपंथी हेरफेर के नियमों की समीक्षा करें और घातांक (वे बिल्कुल समान हैं: जड़ें आंशिक शक्तियां हैं) क्योंकि उनमें से अधिकतर इस प्रक्रिया के लिए आवश्यक हैं। हेरफेर करने के नियमों की भी समीक्षा करें और बहुपद और तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल करना चूंकि इस प्रक्रिया में सरलीकरण करना आवश्यक होगा।

विधि 1
सही शक्तियां

छवि शीर्षक सरल क्रांतिकारी अभिव्यक्तियाँ चरण 1
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सभी क्रांतिकारी अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं जो सही वर्ग हैं एक आदर्श वर्ग, किसी भी संख्या का उत्पाद है, उदाहरण के लिए 81, जो 9 x 9 का उत्पाद है। एक आदर्श वर्ग को सरल बनाने के लिए जो कट्टरपंथी है, बस कट्टरपंथी चिह्न को समाप्त करें और उस नंबर को लिखें आदर्श वर्ग का वर्गमूल होना
  • उदाहरण के लिए, 121 एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि 11 x 11 121 है। इसलिए, आप वर्गमूल के प्रतीक को नष्ट करके 11 (11) के द्वारा सरल कर सकते हैं।
  • प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए, यह पहले बारह सही वर्गों 1 x 1 = 1, 2 एक्स 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x याद करने के लिए अच्छा होगा 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
  • छवि शीर्षक सरल क्रांतिकारी अभिव्यक्तियाँ चरण 2

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    सभी कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं जो एक पूर्ण घन हैं। एक पूर्ण घन किसी भी संख्या का उत्पाद होता है जिसे दो बार गुणा किया जाता है, उदाहरण के लिए 27 3 x 3 x 3 का उत्पाद है। क्यूबिक क्रांतिकारी चिह्न के नीचे एक पूर्ण घन है, जब एक क्रांतिकारी अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, बस रैडिकल साइन और सही क्यूब के क्यूब रूट के नीचे की संख्या लिखिए।
  • उदाहरण के लिए, 343 एक परिपूर्ण घन है क्योंकि यह 7 x 7 x 7 का उत्पाद है। नतीजतन, 343 के सही घन का घन मूल केवल 7 है।

    • विधि 2
    कणों में तर्कसंगत घातांक को परिवर्तित करें

    आप रिवर्स रूपांतरण भी कर सकते हैं, यदि आप पसंद करते हैं (कई बार ऐसा करने के लिए अच्छे कारण हैं), लेकिन इस मामले की तरह एक ही अभिव्यक्ति में शब्दों का मिश्रण न करें: √ (5) + 5. इस लेख में यह माना जाता है कि आप उपयोग करेंगे कट्टरपंथी संकेतन और आप एन के क्यूब रूट के लिए ny (√n) के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीक (√n) का उपयोग करेंगे।

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    सभी आंशिक घाटियों को ढूंढें और उन्हें उनके कट्टरपंथी समकक्ष में परिवर्तित करें, अर्थात एक्स का = x- ख-रूट रूट x
    • यदि आपके पास एक कट्टरपंथी सूचकांक के रूप में एक अंश है, तो इसे से छुटकारा भी मिलता है। उदाहरण के लिए, 4 = √ (4) = 2 = 8 के रूट (2/3)
  • 2
    नकारात्मक एक्सपेंन्टेंट को उनके समकक्ष अंश में परिवर्तित कर देता है, जो कि एक्स = 1 / एक्स है
  • यह केवल निरंतर और तर्कसंगत प्रतिपादकों पर लागू होता है। यदि आपके पास 2 जैसी शर्तें हैं, तो उन्हें छोड़ दें, भले ही समस्या के संदर्भ में यह दर्शाया जाए कि एक्स एक भिन्न या नकारात्मक संख्या हो सकता है
  • 3
    सभी समान पदों को मिलाएं और इस संयोजन के परिणामस्वरूप उत्पन्न तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल करता है।

    • विधि 3
    कट्टरपंथियों के अंश को समाप्त करता है

    प्रामाणिक रूप में आवश्यक है कि एक अंश की जड़ें पूरी संख्या की जड़ों के संदर्भ में व्यक्त की जाए।

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    प्रत्येक कट्टरपंथी नीचे दिए गए शब्दों की जांच करने के लिए यह देखने के लिए कि क्या कोई भिन्न अंश हैं यदि हां, तो अगले चरण के साथ जारी रखें।
  • 2
    पहचान √ (ए / बी) = √ (ए) / √ (बी) का उपयोग करके उन्हें दो कणों के एक अंश से बदलें।
  • इस पहचान का उपयोग न करें यदि भेदक ऋणात्मक है या यदि वह एक चर अभिव्यक्ति है जो नकारात्मक मान ले सकती है। इस मामले में, अंश को पहले सरल बनाएं
  • 3
    एक परिणाम के रूप में आपको प्राप्त होने वाले परिपूर्ण वर्गों को सरल बनाएं यही है, √ (5/4) को √ (5) / √ (4) में कनवर्ट करें,
  • 4
    किसी भी अन्य उपयोगी सरलीकरण करें, जैसे कि कॉम्प्लेक्स अंशों को सरल करना, समान शर्तों, आदि को जोड़ना



    • विधि 4
    कट्टरपंथी उत्पादों का मिश्रण

    Video: क्या आप जियो नेटवर्क सिग्नल की समस्या का सामना कर रहे हैं इस वीडियो को देखें, छुटकारा पाएं || Jio

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    यदि आपके पास एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति है जो किसी दूसरे द्वारा गुणा करता है, उन्हें एक कट्टरपंथी में संयोजित करें संपत्ति का उपयोग कर: √ (ए) * √ (बी) = √ (एबी) उदाहरण के लिए, √ (12) के साथ √ (2) * √ (6) को बदलें।
    • पिछली पहचान, √ (ए) * √ (बी) = √ (एबी) गैर-नकारात्मक रेडिकैंड के लिए मान्य है। अगर ए और बी ऋणात्मक हैं तो इसे लागू न करें, क्योंकि आप गलत तरीके से यह सुनिश्चित करेंगे कि √ (-1) * √ (-1) = √ (1) बाईं ओर -1 परिभाषा के अनुसार है (या यदि आप जटिल संख्याओं का उपयोग करने से इनकार करते हैं तो अनिर्भावित), जबकि दायीं ओर +1 है यदि ए या बी नकारात्मक हैं, तो पहले "फिक्स" इसके साइन इनिंग √ (-5) i * √ (5) द्वारा यदि रेडिकंड एक चर अभिव्यक्ति है जिसका संकेत संदर्भ द्वारा अनुमानित नहीं किया जा सकता है और दोनों सकारात्मक और नकारात्मक हो सकता है, तो, अब बस इसे छोड़ दें जैसा है आप एक अधिक सामान्य पहचान जैसे कि √ (ए) * √ (बी) = √ (sgn (a)) * √ (sgn (b)) * √ (| एबी |) जो सभी वास्तविक संख्याओं ए और बी के लिए मान्य है, का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यह आमतौर पर हस्ताक्षर फ़ंक्शन (sgn) में प्रवेश करते समय अधिक जटिलता को जोड़ना लायक नहीं है
    • यह पहचान तभी लागू होती है यदि कणिकों का एक ही सूचकांक होता है आप सामान्य सूचकांक के माध्यम से पहले उन्हें व्यक्त करके अधिक सामान्य कणों जैसे √ (5) * √ (7) को बढ़ा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, अस्थायी तौर पर जड़ों को आंशिक घाटियों में परिवर्तित करें: √ (5) * √ (7) = 5 * 7 = 5 * 7 = 125 * 49. फिर उत्पाद नियम को इस उत्पाद को 6125 के छठे रूट के साथ मैच के लिए लागू करें।

    विधि 5
    कणों के वर्ग कारक निकालें

    छवि शीर्षक सरल क्रांतिकारी अभिव्यक्तियाँ चरण 3
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    factorized अपने प्रमुख कारकों में एक अपूर्ण क्रांतिकारी अभिव्यक्ति कारक संख्या हैं जो एक नंबर बनाने के लिए गुणा करते हैं: उदाहरण के लिए, 5 और 4 संख्या के दो कारक हैं। एक अपूर्ण कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को तोड़ने के लिए, उस नंबर के सभी कारकों को लिखिए (या जो सभी आपको मिलते हैं, यदि यह एक बड़ी संख्या है) जब तक आप एक ऐसा नहीं पाते जो एक आदर्श वर्ग है।
    • 1, 3, 5, 9, 15 और 45 9 45 का एक पहलू जो भी एक पूर्ण वर्ग (9 = 3) है: उदाहरण के लिए, सभी कारकों संख्या 45 सूचीबद्ध करने के लिए प्रयास करता है। 9 x 5 = 45
  • छवि शीर्षक सरल क्रांतिकारी अभिव्यक्तियाँ चरण 4
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    उन गुणकों को स्थानांतरित करें जो कट्टरपंथी के हस्ताक्षर से परिपूर्ण वर्ग हैं। 9 एक पूर्ण वर्ग कट्टरपंथी हस्ताक्षर में से 3 एक्स 3. ले जाएँ 9 का उत्पाद है और उसके सामने यह जगह है कि कट्टरपंथी हस्ताक्षर के तहत 5 छोड़ने है। अगर "स्ट्रिप्स" तीनों को फिर से कट्टरपंथी के हस्ताक्षर के तहत, एक बार फिर 9 में पैदा होने से गुणा होगा, जो फिर से 5 से गुणा करेगा, फिर 45 बनाना होगा। 3 की जड़ 3 गुणा केवल एक सरलीकृत संस्करण है जिसका अर्थ है 45 की जड़।
  • इसलिए: √ (45) = √ (9 * 5) = √ (9) * √ (5) = 3 * √ (5)।
  • छवि शीर्षक सरल क्रांतिक अभिव्यक्ति चरण 5
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    चर में एक पूर्ण वर्ग का पता लगाएं का वर्गमूल को दूसरी शक्ति होगी | ए |. आप का पालन कर सकते हैं यह सरल बनाने और बस छोड़ दें को, केवल तभी आप जानते हैं कि चर सकारात्मक है का वर्गमूल को तीसरी शक्ति का वर्गमूल में टूट सकता है को द्वारा चुकता किया गया को (इसका कारण यह है कि चर को गुणा करने के लिए एक्सपोनेंट्स को इतना जोड़ दिया जाता है को द्वारा को चुकता बराबर है को बाल्टी के लिए)
  • इसलिए, अभिव्यक्ति के भीतर एकदम सही वर्ग को क्यूब है को वह चुकता।

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    छवि शीर्षक सरल क्रांतिकारी अभिव्यक्तियाँ चरण 6
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    Video: कामना पूर्ति भय बाधा निवारण भैरव साधना और मंत्र प्रयोग

    क्रांतिकारी के हस्ताक्षर से परिपूर्ण चौरस सभी चर को स्थानांतरित करें। अब ले लो को स्क्वेर्ड और इसे कन्वर्ट करने के लिए कट्टरपंथी के हस्ताक्षर से बाहर ले जाने के लिए एक | ए | नियमित रूप से। का सरलीकृत रूप को क्यूब बस है | ए | की जड़ को.
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    यह सभी समान पदों को जोड़ती है और इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल करता है।

    • विधि 6
    हर चीज को तर्कसंगत बनाना

    विहित रूप के लिए आवश्यक है कि भाजक अगर संभव हो तो एक पूर्णांक (या एक बहुपद अगर अनिर्धारित चर शामिल हो) हो

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    • यदि किसी एक कट्टरपंथी चिह्न के तहत एक शब्द के होते हैं, उदाहरण के लिए [कुछ] / √ (5), तो उस कणिक से अंश और गुणा को [कुछ] * √ (5) / √ (5) प्राप्त करने के लिए गुणा करें। * √ (5) = [कुछ] * √ (5) / 5
    • उच्चतम घन और जड़ों के लिए, उन्हें एक मूलभूत संख्या को बनाने के लिए कट्टरपंथी से संबंधित शक्ति द्वारा गुणा करें। यदि भाजक √ (5) था, तो √ (5) द्वारा अंश और छेद को गुणा करें।
  • यदि निचले वर्ग में, √ (2) + √ (6) जैसे वर्ग जड़ों की राशि या घटाव के होते हैं, तो उसके संयुग्मक द्वारा अंश और छोर को गुणा करें: एक ही अभिव्यक्ति लेकिन विपरीत ऑपरेटर के साथ। इसलिए: [कुछ] / (√ (2) + √ (6)) = [कुछ] (√ (2) -√ (6)) / (√ (2) + √ (6)) (√ (2 ) -√ (6)) फिर वर्ग अंतर [(ए + बी) (एबी) = एबी] को पहचानने के लिए भाजक को सरल बनाने के लिए (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2) - √ (6) = 2-6 = -4
  • यह 5 + √ (3) जैसे denominators के लिए काम करता है क्योंकि हर पूर्ण संख्या एक और पूर्ण संख्या का वर्गमूल है। [1 / (5 + √ (3)) = (5-√ (3)) / (5 + √ (3)) (5-√ (3)) = (5-√ (3)) / (5 √ (3)) = (5-√ (3)) / (25-3) = (5-√ (3)) / 22]
  • यह भी वर्ग जड़ों की एक राशि के लिए काम करता है, जैसे √ (5) -√ (6) + √ (7)। जैसा कि आप यदि समूह (√ (5) -√ (6)) + √ (7) और से गुणा (√ (5) -√ (6)) - √ (7), आपकी प्रतिक्रिया नहीं एक तर्कसंगत संख्या होगी, लेकिन होगा फॉर्म ए + बी * √ (30), जहां को और ख वे तर्कसंगत हैं इसके बाद आप अ + ब * √ (30) और (ए + बी * √ (30)) (क-ख * √ (30)) तर्कसंगत है की संयुग्म के साथ प्रक्रिया को दोहरा सकते। अनिवार्य रूप से, अगर आप इस चाल एक बार उपयोग कर सकते हैं हर में कट्टरपंथी संकेत की मात्रा को कम करने के लिए, तो आप इस चाल कई बार उन सब को दूर करने के लिए उपयोग कर सकते हैं।
  • इस विधि भी उदाहरण के लिए, उच्च डिग्री की जड़ों से युक्त हरों के लिए काम करता है, 3 और जड़ की चौथी जड़ सातवें 9. सीधे शब्दों में अंश और हर भाजक के संयुग्म से गुणा करें। दुर्भाग्य से, यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि हर चीज के संयुग्म क्या है या कैसे पता चले। यह इस लेख के दायरे से परे है, लेकिन आप बीजीय संख्यात्मक सिद्धांत की अच्छी किताब में कुछ विधि पा सकते हैं।
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    अब भाजक तर्कसंगत हो जाएगा, लेकिन अंश एक गड़बड़ होगा। अब आप अपने संयुग्मक द्वारा अपने प्रारंभिक अंश को गुणा करेंगे। तो उत्पाद का विस्तार करें जैसा कि आप बहुपदों के उत्पाद के साथ करेंगे जांचें कि क्या आप पदों को रद्द या सरलीकृत कर सकते हैं या समान शर्तों को जोड़ सकते हैं।
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    यदि निदेषक एक नकारात्मक पूर्णांक है, तो अंश और गुणक को गुणा करके -1 को सकारात्मक बनाओ।

    • युक्तियाँ

    • ऑनलाइन वेबसाइटें हैं जो स्वचालित रूप से एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को आसान बना सकती हैं। बस कट्टरपंथी चिह्न के नीचे समीकरण लिखिए और एन्टर करने के बाद, सरलीकृत उत्तर दिखाई देगा।
    • सरल समस्याओं के लिए, इन चरणों में से कई लागू करना संभव नहीं है जटिल समस्याओं के लिए, उनमें से कुछ को एक बार से अधिक लागू किया जाना चाहिए। सरलीकरण करें "सरल" निरंतर जब आप समस्या को हल कर रहे हैं और प्रारंभिक नारा के कैनोनिकल रूप के खिलाफ अपने अंतिम उत्तर की जांच कर सकते हैं। यदि आपका उत्तर वैधानिक है, तो इसका मतलब है कि आप समाप्त हो चुके हैं। यदि यह प्रामाणिक नहीं है, तो आप इन चरणों में से किसी एक का पालन करने के लिए यह देखने के लिए आपको क्या करना चाहिए,
    • इस बारे में सबसे अधिक संदर्भ "कैनोनिकल फॉर्म पसंदीदा" कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों के लिए, वे जटिल संख्याओं पर भी लागू होते हैं (i = √ (-1))। एक लिखने से बचने के लिए हमेशा बेहतर होता है "मैं" हर चीज में, भले ही इसे लिखा गया हो "मैं" और कट्टरपंथी हस्ताक्षर के साथ नहीं
    • इन निर्देशों के कुछ भाग गलत शब्द का उपयोग करते हैं "प्रामाणिक रूप" जब वास्तविकता में वे केवल वर्णन करते हैं "सामान्य तरीका"। अंतर यह है कि कैननियम फॉर्म को 1 + √ (2) या √ (2) +1 के उपयोग की आवश्यकता होगी, अन्य को गलत के रूप में लेबल किया जाना चाहिए। सामान्य रूप से कहकर यह माना जाता है कि पाठक काफी उज्ज्वल है कि ये पहचानने के लिए दोनों हैं "स्पष्ट रूप से समकक्ष" चूंकि ये नंबर टाइपोग्राफिक रूप से समान नहीं हैं (जहां कह रहे हैं "ज़ाहिर" केवल गणित गुण लागू करने का अर्थ, [उदाहरण के लिए, राशि का क्रमविनिमेयता] और कोई बीजीय गुण [√ (2) एक्स 2 के एक गैर नकारात्मक जड़ है])। पाठक को पता चलेगा कि शब्दावली के इस मामूली दुरुपयोग को कैसे माफ करना।
    • इन निर्देशों के कुछ भागों में यह माना जाता है कि सभी कणिक वर्ग जड़ें हैं। सामान्य सिद्धांत भी शक्तियों क्यूब्स और शीर्ष ग्रेड के लिए लागू होते हैं, हालांकि उनमें से कुछ (विशेष रूप से भाजक के युक्तिकरण) लागू करने के लिए और अधिक कठिन हो सकता है। तुम भी आप √ जैसे शब्दों का प्रयोग करने के लिए (4) या √ (2) (इस पाठ्यपुस्तक के लेखक के अनुसार भिन्न हो सकते हैं) पसंद करते हैं तय करना पड़ता है।
    • इन निर्देशों का अस्पष्ट या विरोधाभासी प्रतीत हो, तो सभी चरणों सुसंगत और स्पष्ट लागू करने के बाद आकार कि पाठ्यपुस्तक के सबसे कट्टरपंथी भाव आप की तरह देखो का उपयोग का चयन करें।
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