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ट्रिनीमियल्स का कारक कैसे करें

एक त्रिमितीय एक बीजीय अभिव्यक्ति है जो तीन शब्दों से बना है। सबसे अधिक संभावना है, आप पहली बार त्रिकोणीय का कारक सीखना सीखते हैं "द्विघात"- जो कि, एफ़ + बीएक्स + सी के लिखित ट्रिनोमियल हैं वहाँ कई चालें आप जानने के लिए और द्विघात त्रिनाम के विभिन्न प्रकार है, जो एक छोटे से अभ्यास के साथ बेहतर और तेज उपयोग करने के लिए सीखने के लिए आवेदन कर सकते हैं कर रहे हैं। बहुपदों अधिक की डिग्री, इस तरह के एक्स या एक्स के रूप में शर्तों से, हमेशा एक ही तरीकों का उपयोग कर हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन आम तौर पर एक सरल विधि गुणन या प्रतिस्थापन का उपयोग समस्याओं है कि किसी भी द्विघात सूत्र के रूप में हल किया जा सकता बनने के लिए कर सकते हैं।

चरणों

विधि 1
एक्स + बीएक्स + सी के फैक्टर ट्रिनोमियल्स

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त्रिमनीयल्स फैक्टर चरण 1 नामक छवि
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एफओआईएल गुणन विधि जानें. हो सकता है कि आप पहले से ही FOIL विधि जानते हैं, जिसका मतलब है "पहले, बाहरी, आंतरिक और अंतिम", और इसका प्रयोग एक्सप्रेशन जैसे (एक्स + 2) (एक्स + 4) को बढ़ाता है। फैक्टरिंग से पहले यह तरीका कैसे काम करता है यह जानना बहुत उपयोगी है यह निम्नानुसार किया जाता है:
  • गुणा करें पहले शर्तें: (एक्स+2) (एक्स+4) = एक्स + __
  • शब्दों को गुणा करें बाहरी: (एक्स+2) (एक्स +4) = x +4x + __
  • शब्दों को गुणा करें आंतरिक: (एक्स +2) (एक्स+4) = एक्स + 4x +2x + __
  • गुणा करें नवीनतम शर्तें: (एक्स +2) (एक्स +4) = एक्स + 4x + 2x +8
  • सरल करें: x +4x + 2x+8 = x +6x+8
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    त्रिमितीय फैक्टर चरण 2 नामक छवि
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    फैक्टरनाइजेशन प्रक्रिया को समझें जब आप दो बिनोमिल्स को एफओआईएल विधि का उपयोग करते हुए गुणा करते हैं, तो नतीजा यह होता है कि फार्म का एक trinomial (तीन शब्दों के साथ एक अभिव्यक्ति) कुल्हाड़ी +बीएक्स +सी, जहां ए, बी और सी सामान्य संख्या हैं यदि आपको उसी फॉर्म के साथ एक समीकरण दिया गया है, तो आप इसे दो द्वि-आयामों में फैला सकते हैं।
  • यदि समीकरण इस तरह नहीं लिखा गया है, तो नियमों को फिर से संगठित करें। उदाहरण के लिए, फिर से लिखना3x - 10 + x जैसे एक्स + 3x - 10.
  • क्योंकि सबसे बड़ा एक्सपोनेंट 2 (एक्स) है, इस प्रकार की अभिव्यक्ति कहा जाता है "द्विघात"।
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    तृणमितीय फैक्टर चरण 3 के शीर्षक वाला छवि
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    जवाब के लिए एक जगह छोड़ दें फिलहाल, आपको बस लिखना है (__ __) (__ __), उस स्थान पर जहां आप अपना उत्तर लिखना चाहते हैं। आप प्रगति के रूप में फ़ील्ड भर देंगे।
  • रिक्त पदों के मध्य में + या - लिखना न करें, क्योंकि हमें संकेत नहीं पता है
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    तृणमितीय फैक्टर चरण 4 नामक छवि
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    पहले शब्दों को पूरा करें साधारण समस्याओं के लिए, जहां ट्रिनीमियल की पहली अवधि x है, पहली पंक्ति में शर्तें हमेशा मौजूद रहेंगी एक्स और एक्स. ये हैं x के कारक, x से x = x के बाद से
  • हमारा उदाहरण x + 3x - 10 एक्स से शुरू होता है, इसलिए हम निम्नलिखित लिख सकते हैं:
  • (x __) (x __)
  • अगले खंड में हम अधिक जटिल समस्याओं को कवर करेंगे, जिसमें टिनिनोमियल शामिल होंगे, जो कि 6x या -x जैसे किसी शब्द से शुरू हो सकते हैं। अभी के लिए, उदाहरण का पालन करें।
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    तृणमितीय फैक्टर चरण 5 नामक छवि
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    अंतिम शब्दों को खोजने के लिए फैक्टरिंग का उपयोग करें यदि आप वापस जाएं और एफओआईएल विधि की समीक्षा करें, तो आप देखेंगे कि आखिरी शब्दों को गुणा करके आपको बहुपद का अंतिम कार्य (जिस पर एक्स नहीं है) मिलेगा। इसलिए, कारक के लिए, आपको दो नंबरों को खोजने की आवश्यकता होगी आखिरी अवधि में गुणा।
  • हमारे उदाहरण में, x + 3x - 10, अंतिम शब्द है -10
  • क्या हैं कारकों -10? गुणा क्या संख्या -10 दे?
  • कई संभावनाएं हैं: -1 एक्स 10, 1 एक्स -10, -2 एक्स 5 और अंत में 2 एक्स -5 संख्याओं के इन सेटों को लिखें ताकि आप उन्हें भूल न सकें।
  • जवाब अभी तक नहीं लिखें यह अभी भी इस तरह दिखना चाहिए: (x __) (x __).

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    तृणमलीय फैक्टर चरण 6 शीर्षक वाली छवि
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    बाहर की ओर से आंतरिक संख्या को गुणा करके सही उत्तर को परिभाषित करें। हमने अंतिम शर्तों की खोज को केवल कुछ संभावनाओं में ही घटा दिया है प्रत्येक संभावना का परीक्षण करने के लिए परीक्षण और त्रुटि का उपयोग करें, आंतरिक द्वारा बाह्य शब्द को गुणा करना और परिणाम के साथ trinomial की तुलना करना। उदाहरण के लिए:
  • मूल समस्या में एक शब्द है "एक्स" 3x, इसलिए हमें उस पद को गुणन के साथ मिलना चाहिए।
  • चलो 1 और 10 के साथ प्रयास करें: (एक्स -1) (एक्स + 10) बाहरी + इंटीरियर = 10x - x = 9x यह जवाब नहीं है
  • आइए 1 और -10: (एक्स + 1) (एक्स -10) के साथ प्रयास करें। -10 x + x = -9x न तो जवाब है वास्तव में, चूंकि हमने 1 और 10 के साथ परीक्षण किया है, हम जानते हैं कि यदि हम 1 और -10 का उपयोग करते हैं, तो हमें 9 0 के बजाय 9-9 के उलट दिशा में भी यही जवाब मिलेगा।
  • चलो 2 और 5 के साथ प्रयास करें: (x-2) (x + 5) 5x - 2x = 3x यह उत्तर मूल बहुपद से मेल खाता है, इसलिए यह सही उत्तर है: (एक्स -2) (एक्स +5).
  • पिछले मामलों की तरह सरल मामलों में, जब शब्द एक्स के आगे कोई स्थिर नहीं होता है, तो आप शॉर्टकट का उपयोग कर सकते हैं: बस दो कारकों को जोड़ें और जोड़ें "एक्स" (-2 + 5 → 3x) लेकिन यह चाल अधिक जटिल समस्याओं के लिए काम नहीं करती है, इसलिए इसे याद रखना अच्छा है "लंबे समय तक फार्म" ऊपर वर्णित

    • विधि 2
    फैक्टर अधिक जटिल trinomials

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    तृणमलीय फैक्टर चरण 7 नाम की छवि
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    सबसे जटिल समस्याओं की सुविधा के लिए सरल फैक्टरिंग का उपयोग करें मान लीजिए हम कारक होने जा रहे हैं 3x + 9x - 30. तीन शब्दों का कारक ढूंढिए (द "अधिकतम सामान्य कारक" या एमएफसी)। इस स्थिति में, यह 3 है:
    • 3x = (3) (एक्स)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3) (- 10)
    • इसलिए, 3x + 9x - 30 = (3) (एक्स + 3x-10)। हम पिछले अनुभाग में वर्णित चरणों का उपयोग करके नए ट्रिनीमियल का कारक बना सकते हैं। अंतिम उत्तर होगा (3) (एक्स -2) (एक्स + 5).



  • फैक्टर-trinomials-चरणीय-8-संस्करण-2.jpg" वर्ग ="छवि लाइटबॉक्स">
    तृणमलीय फैक्टर चरण 8 नामक छवि
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    अधिक जटिल कारक खोजें कभी-कभी, कारक के साथ एक वेरिएबल हो सकता है या संभवतः सरल अभिव्यक्ति संभव के लिए आपको कई बार कारक करना पड़ सकता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
  • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(एक्स + 7x + 12)
  • एक्स + 11x - 26x = (एक्स)(एक्स + 11x - 26)
  • -एक्स + 6x - 9 = (-1)(एक्स - 6x + 9)
  • विधि 1 में वर्णित चरणों का उपयोग करके प्रत्येक नए ट्रिनीमियल को कारक करने के लिए मत भूलना 1. इस पृष्ठ के निचले भाग में स्थित समस्याओं के अनुभाग में अपने परिणामों की जांच करें और समान उदाहरण देखें।
  • फैक्टर-trinomials-चरणीय-9-संस्करण-2.jpg" वर्ग ="छवि लाइटबॉक्स">
    तृणमितीय फैक्टर चरण 9 के शीर्षक वाला छवि
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    Trinomials का समाधान करें जो एक संख्या है जो एक्स के साथ मेल खाता है। कुछ द्विघात trinomials सरल तरीका में उन्हें हल करने के लिए सरल नहीं किया जा सकता है 3x + 10x + 8 के समान समस्याओं को हल करने के बारे में जानें और फिर अपने पृष्ठ पर नीचे की समस्याओं के साथ अभ्यास करें:
  • चलिए जवाब के लिए जगह छोड़ दें: (__ __) (__ __)
  • "पहले" शब्दों के पास एक्स होना चाहिए और हमें उन्हें 3x प्राप्त करने के लिए गुणा करना होगा। केवल एक समाधान है: (3x __) (एक्स __).
  • 8 के कारकों को लिखें। हमारे विकल्प 1 x 8 या 2 x 4 हैं
  • आंतरिक अवधि के साथ बाहरी शब्द को गुणा करने का प्रयास करें। कारकों के आदेश को ध्यान में रखते हुए, क्योंकि आपको एक्स के बजाय 3x से बाह्य शब्द को गुणा करना होगा। जब तक आपको 10x परिणाम प्राप्त नहीं होता है (मूल समस्या शब्द) सभी विकल्पों का प्रयास करें:
  • (3x + 1) (एक्स + 8) → 24x + x = 25x नहीं
  • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x नहीं
  • (3x + 2) (एक्स + 4) → 12x + 2x = 14x नहीं
  • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x हां. यह सही कारक है
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    तृणमितीय फैक्टर चरण 10 नाम की छवि
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    उच्चतम कक्षा trinomials के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें वे आपको एक्सपोनेंट के साथ एक समीकरण दे सकते हैं (जैसे एक्स) समस्या को आसान बनाने के लिए फैक्टरिंग के बाद भी। एक वेरिएबल के साथ बदलें जो समस्या को एक में परिवर्तित कर देता है जिसे आप हल करने का तरीका जानते हैं। उदाहरण के लिए:
  • एक्स + 13x + 36x
  • = (एक्स) (एक्स + 13x + 36)
  • चलो एक नया चर बनाते हैं। चलो y = एक्स और बदलें:
  • (x) (y + 13y + 36)
  • = (x) (y + 9) (y + 4) अब हम मूल वैरिएबल से प्रतिस्थापित करते हैं:
  • = (एक्स) (एक्स + 9) (एक्स + 4)
  • =(एक्स) (एक्स ± 3) (x ± 2)

    • विधि 3
    फैक्टर विशेष मामलों

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    तृणमितीय फैक्टर चरण 11 के शीर्षक वाला चित्र
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    प्रधान संख्याओं को देखें जांचें कि ट्रिनीमियल की पहली या तीसरी अवधि में स्थिरांक एक प्रमुख संख्या है। एक वास्तविक संख्या को अपने आप और सटीक संख्या से सटीक संख्या प्राप्त करने के लिए विभाजित किया जा सकता है, इसलिए द्विपदीय में प्रवेश करने के लिए केवल एक ही संभावित जोड़ी कारक हैं।
    • उदाहरण के लिए, एक्स + 6x + 5 में, 5 एक प्रमुख संख्या है, इसलिए द्विपदीय के पास फार्म होना चाहिए (__ 5) (__ 1)।
    • समस्या में 3x + 10x + 8, 3 एक प्रमुख संख्या है, इसलिए द्विपदीय के पास फार्म (3x __) (x __) होना चाहिए।
    • समस्या 3x + 4x + 1 के लिए, 3 और 1 मुख्य संख्या हैं, इसलिए केवल संभव समाधान (3x + 1) (x + 1) है (किसी भी मामले में आपको जांच करने के लिए गुणन को हल करना होगा, क्योंकि कुछ अभिव्यक्तियों पर विचार नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरण 3x + 100x + 1, कोई कारक नहीं है)।
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    तृणमितीय फैक्टर चरण 12 के शीर्षक वाला छवि
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    जांचें कि क्या ट्रिनीमियल एक आदर्श वर्ग है। एक आदर्श स्क्वायर ट्रिनीमियल दो समान द्विपदों में कारगर हो सकता है और परिणामी कारक आमतौर पर (x + 1) (x + 1) के बजाय (x + 1) के रूप में लिखा जाता है। यहां कुछ उदाहरण हैं जो अक्सर बीजगणित की समस्याओं में दिखते हैं:
  • x + 2x + 1 = (x + 1) और x-2x + 1 = (x-1)
  • x + 4x + 4 = (x + 2) और x-4x + 4 = (x-2)
  • एक्स + 6x + 9 = (एक्स + 3) और एक्स -6 एक्स + 9 = (एक्स -3)
  • एक आदर्श वर्ग ट्रिनीमियल आकृति कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी हमेशा के नियम हैं एक और सी जो सही सकारात्मक वर्ग (जैसे 1, 4, 9, 15 या 25) और शब्द हैं बी (पॉजिटिव या नकारात्मक) 2 (√a * √c) के बराबर है।
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    तृणमलीय फैक्टर चरण 13 के शीर्षक वाला छवि
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    जांचें कि समस्या का समाधान है नहीं सभी trinomials factored किया जा सकता है यदि आप द्विघात त्रिमितीय (कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी) को हल नहीं कर सकते, तो जवाब खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करें। यदि एकमात्र समाधान एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल है (यानी, कोई वास्तविक समाधान नहीं है), तो तेंदुए पर विचार नहीं किया जा सकता।
  • गैर-द्विघात trinomials के लिए, Eisenstein कसौटी का उपयोग करें, सुझाव अनुभाग में वर्णित।

    • समस्याएं और समाधान

    1. फैक्टरिंग समस्याओं के जवाब "जटिल"। ये कदम से अधिक की समस्याएं हैं "अधिक जटिल कारक"। वे पहले से सरल trinomials करने के लिए सरलीकृत किया गया है, तो विधि 1 में वर्णित चरणों का उपयोग कर उन्हें हल करने का प्रयास करें, तो यहाँ अपने उत्तरों की जाँच करें:
    2. (2 वें) (एक्स + 7x + 12) = (एक्स + 3) (एक्स + 4)
    3. (एक्स) (एक्स + 11x - 26) = (एक्स + 13) (एक्स -2)
    4. (-1) (एक्स - 6x + 9) = (एक्स -3) (एक्स -3) = (एक्स 3)
    5. अधिक जटिल फैक्टरिंग समस्याओं का प्रयास करें इन समस्याओं का प्रत्येक शब्द में एक सामान्य कारक होता है, जिसे पहले कारगर होना चाहिए। जवाब देखने और अपने काम की जांच करने के लिए बराबर चिह्न के बाद अंतरिक्ष में छाया करें:
    6. 3x + 3x-6x = (3x) (एक्स + 2) (एक्स -1) ← जवाब देखने के लिए इस जगह छाया।
    7. -5xy + 30xy-25yx = (-5xy ^ 2) (एक्स -5) (एक्स -1)
    8. कठिन समस्याओं के साथ अभ्यास. निम्न समस्याओं सरल समाधान के तरीके पर निर्भर नहीं किया जा सकता है, तो प्रतिक्रिया प्रपत्र (_x + __) (x + _ __) परीक्षण और त्रुटि के द्वारा पता लगाना चाहिए:
    9. 2x + 3x-5 = (2x + 5) (एक्स -1) ← जवाब देखने के लिए छाया।
    10. 9x + 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1) (सुझाव: शायद आपको 9x शब्द के लिए कुछ कारकों से अधिक प्रयास करना चाहिए)।

    युक्तियाँ

    • यदि आप द्विघात त्रिमितीय (कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी) का कारक नहीं कर सकते, तो आप x के मान को खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
    • हालांकि यह आवश्यक पता नहीं है, तो आप जल्दी से निर्धारित करने के लिए यदि बहुपद अलघुकरणीय है, जिसमें मामले शामिल नहीं किया जा सकता है Eisenstein कसौटी उपयोग कर सकते हैं। यह मानदंड किसी भी प्रकार के बहुपद के लिए काम करता है, लेकिन trinomials में सबसे अच्छा काम करता है अगर वहाँ एक अभाज्य संख्या (पी) सही ढंग से पिछले दो शर्तों को विभाजित है और निम्न शर्तों को पूरा करता है, तो बहुपद अलघुकरणीय है:
    • निरंतर शब्द (कोई चर वाला नहीं) पी का एक बहु है, लेकिन पी नहीं
    • पहला शब्द (उदाहरण के लिए, ए में कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी) पी के बहुरूप नहीं है
    • उदाहरण के लिए, 14x + 45x + 51, अभाज्य संख्या (3) कि वास्तव में 45 और 51 है, लेकिन नहीं 14- और 51 बिताते हैं तीनों के बीच सही ढंग से विभाजित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि अलघुकरणीय है।

    चेतावनी

    • यद्यपि द्विघात trinomials के लिए सही, झूठा trinomials जरूरी दो binomials के उत्पाद नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक्स + 105x + 46 = (एक्स + 5x + 2) (एक्स - 5x + 23)।
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