दूसरी डिग्री के बहुपदों को कैसे पहचाना जाए (द्विघात समीकरण)
एक बहुपद में एक चर (एक्स) शक्ति (एक डिग्री के रूप में जाना जाता है) और कई पदों या स्थिरांक के लिए उठाया गया है। एक बहुपद का अभिप्राय करना इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति को छोटे शब्दों में एक दूसरे के साथ गुणा करना होता है। फैक्टरिंग एक बीजगणित I कौशल या उच्चतर है और इसलिए आपके लिए यह समझना मुश्किल हो सकता है कि आपका गणित कौशल उस स्तर पर नहीं है।
सामग्री
चरणों
बुनियादी अवधारणाओं
1
अभिव्यक्ति लिखें द्विघात समीकरण का मानक रूप है:
कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी = 0
समीकरण की शर्तों को सबसे बड़ा बिजली से लेकर छोटे प्रारूप तक क्रमबद्ध करें, जैसा कि पिछले प्रारूप में है उदाहरण के लिए:
6 + 6x + 13x = 0
शब्दों को व्यवस्थित करने के लिए काम करने के लिए अभिव्यक्ति को पुन: क्रम दें:
6x + 13x + 6 = 0
समीकरण की शर्तों को सबसे बड़ा बिजली से लेकर छोटे प्रारूप तक क्रमबद्ध करें, जैसा कि पिछले प्रारूप में है उदाहरण के लिए:
शब्दों को व्यवस्थित करने के लिए काम करने के लिए अभिव्यक्ति को पुन: क्रम दें:
2
नीचे चर्चा की गई तरीकों में से किसी एक का उपयोग करके कारगर फार्म का पता लगाएं। बहुपदीय परिणाम को दो छोटे भावों में फैक्टरिंग करना जो मूल बहुपद का उत्पादन करने के लिए गुणा है:
6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
इस उदाहरण में, (2x + 3) और (3x + 2) हैं मूल अभिव्यक्ति के कारक, 6x + 13x + 6
इस उदाहरण में, (2x + 3) और (3x + 2) हैं मूल अभिव्यक्ति के कारक, 6x + 13x + 6
3
अपना काम जांचें! अभिव्यक्ति के कारक गुणा करें फिर समान पदों को जोड़ें और चेक करें। के साथ शुरू करें:
(2x + 3) (3x + 2)
के निम्न क्रम में मामले गुणा पहले तक इस कंपनी है, जो देता है की जाँच प्रथम, द्वितीय से प्रथम, द्वितीय पहले से दूसरा दूसरे से, करते हैं:
6x + 4x + 9x + 6
यहां से, हम 4x और 9x जोड़ सकते हैं, क्योंकि वे समान शब्द हैं हम जानते हैं कि कारक सही हैं क्योंकि जब हम काम करते हैं हम प्रारंभिक समीकरण प्राप्त करते हैं:
6x + 13x + 6
के निम्न क्रम में मामले गुणा पहले तक इस कंपनी है, जो देता है की जाँच प्रथम, द्वितीय से प्रथम, द्वितीय पहले से दूसरा दूसरे से, करते हैं:
यहां से, हम 4x और 9x जोड़ सकते हैं, क्योंकि वे समान शब्द हैं हम जानते हैं कि कारक सही हैं क्योंकि जब हम काम करते हैं हम प्रारंभिक समीकरण प्राप्त करते हैं:
विधि 1
परीक्षण और त्रुटि
यदि आपके पास काफी साधारण बहुपद है, तो आप अपने कारकों को केवल एक नज़र से देख सकते हैं। उदाहरण के लिए, थोड़ा अभ्यास के साथ, कई गणितज्ञों को पता है कि अभिव्यक्ति 4x + 4x + 1 कारकों (2x + 1) और (2x + 1) सिर्फ इसलिए कि मैं इसे कई बार (स्पष्ट रूप से इतना अधिक जटिल बहुआयामी पद के साथ आसान नहीं) को देखा है है। इस उदाहरण के लिए, चलो एक कम आम अभिव्यक्ति का उपयोग करें:
1
अवधि के कारकों की सूची एक और सी। प्रारूप का उपयोग करना कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी = 0, शब्दों की पहचान करें एक और सी और उसके कारकों की सूची 3x + 2x - 8 के लिए, इसका मतलब है:
ए = 3 और उसके पास कारकों का एक समूह है: 1 * 3
सी = -8 और चार कारक हैं: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 और -1 * 8
2
रिक्त स्थान के साथ दो सेट कोष्ठक लिखें रिक्त स्थान में आप प्रत्येक अभिव्यक्ति के स्थिरांक रखेंगे।
(एक्स) (एक्स)
3
संभव मूल्य कारकों के एक जोड़े के साथ रिक्त स्थान भरें एक। शब्द के लिए हमारे उदाहरण (3x) के लिए, केवल एक संभावना है:
(3x) (1x)
4
स्थिरता के लिए कुछ कारकों के साथ एक्स के सामने रिक्त स्थान भरें। मान लीजिए कि हमने 8 और 1 को चुना है। हम लिखते हैं:
(3x 8) (एक्स 1)
5
यह तय करें कि x और संख्याओं के बीच में कौन सी साइन (अधिक या कम) जाना चाहिए मूल अभिव्यक्ति के संकेत के आधार पर, यह पता लगाना संभव है कि कौन-से संकेत स्थिर होना चाहिए। चलो हमारे कारकों के दो स्थिरांक कहते हैं कश्मीर और ज:
अगर कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी तो (एक्स + एच) (एक्स + के)
अगर कुल्हाड़ी- bx - c या ax + bx - c फिर (x - h) (x + k)
अगर कुल्हाड़ी - बीएक्स + सी तो (एक्स - एच) (एक्स - के) हमारे उदाहरण के लिए, 3x + 2x - 8, लक्षण होना चाहिए: (x - h) (x + k), जो हमें कारक देता है:
(3x + 8) और (एक्स -1)
Video: Samantar Shreni 01/ समांतर श्रेणी 01
6
गुणन को हल करके व्यायाम की जांच करें जांच करने के लिए एक त्वरित जांच यह है कि मध्य अवधि का सही मान है या नहीं। यदि नहीं, तो आपने गलत कारकों का चयन किया हो सी। चलो व्यायाम की जाँच करें:
(3x + 8) (एक्स -1)
गुणा करना, हम इसे प्राप्त करते हैं:
3x - 3x + 8x - 8
समान अभिव्यक्तियाँ (-3x) और (8x) जोड़कर इस अभिव्यक्ति को सरल करना:
3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
अब हम जानते हैं कि हम गलत कारकों का इस्तेमाल करते हैं:
3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
गुणा करना, हम इसे प्राप्त करते हैं:
समान अभिव्यक्तियाँ (-3x) और (8x) जोड़कर इस अभिव्यक्ति को सरल करना:
अब हम जानते हैं कि हम गलत कारकों का इस्तेमाल करते हैं:
7
यदि आवश्यक हो तो अपना जवाब बदलें हमारे उदाहरण के बाद, चलो 1 और 8 के स्थान पर 2 और 4 की कोशिश करें:
(3x + 2) (एक्स - 4)
अब हमारे शब्द सी है -8, लेकिन (3x * -4) और (2 * x) का उत्पाद -12 x और 2x है, जो जोड़कर हमें सही शब्द नहीं देता बी (+ 2x)
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
अब हमारे शब्द सी है -8, लेकिन (3x * -4) और (2 * x) का उत्पाद -12 x और 2x है, जो जोड़कर हमें सही शब्द नहीं देता बी (+ 2x)
8
यदि आवश्यक हो तो आदेश को उलटाएं चलो 2 और 4 को आगे बढ़ने का प्रयास करें:
(3x + 4) (एक्स -2)
अब, हमारा शब्द सी (4 * 2 = 8) अभी भी सही है, लेकिन बाकी के गुणन -6x और 4x में परिणाम अगर हम उन्हें जोड़ते हैं:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x
हम 2x के करीब थे बी, लेकिन इसमें गलत साइन है
अब, हमारा शब्द सी (4 * 2 = 8) अभी भी सही है, लेकिन बाकी के गुणन -6x और 4x में परिणाम अगर हम उन्हें जोड़ते हैं:
हम 2x के करीब थे बी, लेकिन इसमें गलत साइन है
9
यदि आवश्यक हो तो फिर संकेतों की जांच करें। हम एक ही क्रम में संख्याओं का उपयोग करने जा रहे हैं, लेकिन हम माइनस साइन को बदलते हैं:
(3x - 4) (एक्स + 2)
अब, हमारा शब्द सी अभी भी सही है, लेकिन बाकी गुणा हमें परिणामस्वरूप (6x) और (-4x) देता है के बाद से:
6x - 4x = 2x
2x = 2x अब हम मूल समीकरण के 2x को खोजते हैं। यह सही कारक होना चाहिए।
अब, हमारा शब्द सी अभी भी सही है, लेकिन बाकी गुणा हमें परिणामस्वरूप (6x) और (-4x) देता है के बाद से:
विधि 2
सड़न
यह विधि शर्तों के सभी संभावित कारकों को पहचानती है एक औरसी और उन्हें पता लगाने के लिए सही कारक क्या होना चाहिए। यदि आप बहुत बड़ी संख्या के साथ काम करते हैं या यदि अनुमानित प्रकार के अन्य तरीके बहुत लंबा लगते हैं, तो इस पद्धति का उपयोग करें। हम निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करने जा रहे हैं:
1
शब्द को गुणा करें शब्द के लिए सी। हमारे उदाहरण में, ए 6 है और सी भी 6 है
6 * 6 = 36
2
पद प्राप्त करें बी फैक्टरिंग और परीक्षण हम दो नंबरों की तलाश कर रहे हैं जो उत्पाद के कारक हैं एक * ग और यह अभिव्यक्त किया कि हमें शब्द दें बी (13)
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3
समीकरण में दो संख्याओं को पद के योग के रूप में बदलें ख। चलो का उपयोग करें ज और कश्मीर दो संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए जिन्हें हमने प्राप्त किया, 4 और 9:
कुल्हाड़ी + केएक्स + एचएक्स + सी
6x + 4x + 9x + 6
4
समूहिंग द्वारा बहुपद का कारक समीकरण को व्यवस्थित करें ताकि आप पहले दो और अंतिम दो शब्दों के सर्वोच्च सामान्य कारक (एमसीडी) का कारक बना सकें। दो तथ्यात्मक शर्तों को समान होना चाहिए। जीसीएफ जोड़ें और फैक्टरिंग समूह के बगल में कोष्ठकों में संलग्न करें - परिणाम आपके दो कारक होंगे:
6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
विधि 3
ट्रिपल गेम
अपघटन पद्धति के समान, तीन तरह की विधि शर्तों के उत्पाद के संभावित कारकों की जांच करती है एक और सी के संभावित मूल्य का पता लगाने के लिए ख। उदाहरण के रूप में निम्न समीकरण पर विचार करें:
1
शब्द को गुणा करें शब्द के लिए सी। अपघटन पद्धति के अनुसार, यह हमें शब्द के संभावित मूल्यों की पहचान करने में मदद करेगा ख। इस उदाहरण में, ए 8 है और सी है 2
8 * 2 = 16
2
उन दो नंबरों का पता लगाएं जिनके उत्पाद इस संख्या के बराबर हैं और जिनकी राशि शब्द के बराबर है ख। यह कदम अपघटन विधि के समान है, हम कोशिश करते हैं और स्थिरांक के लिए संख्याओं को त्यागते हैं। शर्तों का उत्पाद एक और सी 16 है, जबकि इसकी राशि 10 के बराबर है:
2 * 8 = 16 8 + 2 = 10
3
दो नंबर लें और उन्हें तीन गेम के सूत्र में बदलें। पिछले चरण से दो नंबर लें (चलो उन्हें फोन करें ज और कश्मीर) और उन्हें अभिव्यक्ति में बदलें:
(कुल्हाड़ी + एच) (कुल्हाड़ी + के)) / a
इस तरह, हम प्राप्त करते हैं:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
इस तरह, हम प्राप्त करते हैं:
4
देखें कि अंश में दो पदों में से कौन सा बिल्कुल बीच में विभाज्य होगा एक। इस उदाहरण में, हम परीक्षण करेंगे कि क्या (8x + 8) या (8x + 2) द्वारा 8. (8x + 8) है विभाज्य 8 से विभाजित किया जा सकता है, तो हम दोनों के बीच इस पद को विभाजित एक और हम अन्य बरकरार छोड़ दें
(8x + 8) = 8 (x + 1)
जिस शब्द का हम उपयोग करने जा रहे हैं, वह है जो शब्द के बीच विभाजन के बाद रहता है a: (x + 1)
जिस शब्द का हम उपयोग करने जा रहे हैं, वह है जो शब्द के बीच विभाजन के बाद रहता है a: (x + 1)
5
एक या दोनों शब्दों का सबसे बड़ा सामान्य कारक (एमसीडी) ढूंढें इस उदाहरण में, दूसरे शब्द में 2 का जीसीएफ है, 8x + 2 = 2 (4x + 1) के बाद से। उस पद के साथ उत्तर में शामिल हों जिसे आपने पिछले चरण में पहचाना था। ये समीकरण के कारक हैं
2 (एक्स + 1) (4x + 1)
विधि 4
दो वर्गों का अंतर
बहुपदों के कुछ गुणांक "वर्ग" या दो संख्याओं के उत्पाद के रूप में पहचाने जाते हैं। वर्गों को पहचानना कुछ बहुपदों को बहुत तेजी से फैक्टरिंग की अनुमति देता है चलो समीकरण को देखें:
1
यदि संभव हो तो, कारक का सबसे बड़ा सामान्य कारक इस मामले में, हम देखते हैं कि 27 और 12 दोनों 3 से विभाज्य हैं, इसलिए हम इसका कारक करते हैं:
27x - 12 = 3 (9x - 4)
2
निर्धारित करें कि समीकरण के गुणांक वर्ग संख्या हैं। इस विधि का उपयोग करने के लिए आप दोनों शब्दों का वर्गमूल लागू करते हैं और एक पूर्णांक प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए (ध्यान दें कि हम नकारात्मक संकेत को छोड़ दिया है, क्योंकि जैसा कि संख्या दो सकारात्मक या नकारात्मक संख्याओं का गुणनफल का नतीजा हो सकता है चुकता कर रहे हैं) ।
9x = 3x * 3x और 4 = 2 * 2
3
जिस वर्ग की जड़ें आपने पहचान ली थीं, कारकों को लिखें। हम इसके मूल्यों को लेते हैं एक और पिछले चरण से सी- ए = 9 y c = 4, फिर हम वर्गमूल लागू करते हैं, √ए = 3 और √सी = 2. ये तथ्ययुक्त अभिव्यक्तियों के गुणांक हैं:
27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
विधि 5
द्विघात सूत्र
यदि कुछ भी काम नहीं करता है और आप समीकरण को कारक नहीं कर सकते, तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें। निम्नलिखित उदाहरण को देखें:
Video: Class 10th Maths Ex. 3.1 Question 2 द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जबकि शून्यांक का योग तथा गुणन निम्न है
1
द्विघात सूत्र में संबंधित मानों की जगह:
एक्स = -बी ± √ (बी -4 एसी) ---------------------
2
हम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Video: द्विघात बहुपद ज्ञात किजिए । जिनके शुन्यकों का योग व गुणनफल क्रमशः 1/4 व -1 है
2
हम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
Video: द्विघात बहुपद शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यक एवं गुणाको के बीच के संबंध की सत्यता की जांच कीजिए |
2
एक्स को खोजने के लिए हल अंत में आपको एक्स के दो मान मिलते हैं। जैसा कि देखा जा सकता है, दो उत्तर प्राप्त होते हैं:
x = -2 + √ (3) या x = 2 - √ (3)
3
कारकों को खोजने के लिए एक्स के मूल्य का उपयोग करें उन मूल्यों को बदलें जिन्हें आप एक्स से प्राप्त करते हैं, जैसे दो बहुपद अभिव्यक्तियों में स्थिरांक। ये कारक होंगे अगर हम x के दो मानों को फोन करते हैं ज और K, हम कारकों को निम्न प्रकार से लिखते हैं:
(एक्स - एच) (एक्स - के)
इस मामले में, अंतिम उत्तर है:
(एक्स - (-2 + √ (3)) (एक्स - (-2 - √ (3)) = (एक्स + 2 - √ (3)) (एक्स + 2 + √ (3))
इस मामले में, अंतिम उत्तर है:
विधि 6
कैलकुलेटर के साथ
यदि आपको इसका उपयोग करने की अनुमति है, तो एक ग्राफ़िंग कैलकुलेटर फैक्टरिंग प्रक्रिया को सरल करता है, खासकर मानक परीक्षणों में। ये निर्देश टीआई ग्राफ़िंग कैलकुलेटर (टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स द्वारा निर्मित) के लिए हैं। हम एक उदाहरण के रूप में निम्न समीकरण का उपयोग करेंगे:
1
कैलकुलेटर में समीकरण दर्ज करें आप समीकरणों के संकल्प का उपयोग करेंगे, जिसे स्क्रीन [वाई =] के रूप में भी जाना जाता है।
2
कैलकुलेटर का इस्तेमाल करते हुए समीकरण का ग्राफ़ एक बार समीकरण दर्ज हो जाने के बाद, [GRAPH] कुंजी दबाएं और एक नरम चाप दिखाई देगा जो समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है (यह एक चाप होना चाहिए, क्योंकि हम बहुपदों के साथ काम करते हैं)
3
जिस बिंदु पर चाप एक्स अक्ष को छेदता है उसे खोजें। चूंकि बहुपद समीकरण सामान्य रूप से एउड + बीएक्स + सी = 0 के रूप में लिखा जाता है, ये एक्स के दो मान हैं, जो अभिव्यक्ति 0 के बराबर होने के कारण होता है:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
4
दो पहलुओं की अभिव्यक्ति में पिछले चरण में एक्स से प्राप्त की गई मूल्यों को बदलें। अगर हम x के दो मानों को फोन करते हैं ज और कश्मीर, हम प्रयोग करेंगे अभिव्यक्ति होगा:
(एक्स - एच) (एक्स - के) = 0
इसलिए, दो कारक होना चाहिए:
(एक्स - (-1)) (एक्स - 2) = (एक्स + 1) (एक्स - 2)
इसलिए, दो कारक होना चाहिए:
युक्तियाँ
- यदि आपके पास एक तिवारी -84 (ग्राफ़िक) कैलकुलेटर है, तो एक प्रोग्राम है जिसे शल्यक्रिया समीकरणों को हल करने के लिए सॉल्वर कहा जाता है। यह किसी भी अन्य डिग्री के बहुपदों को हल करने के लिए भी कार्य करता है।
- यदि कोई शब्द मौजूद नहीं है, तो गुणांक 0 है। यदि यह स्थिति होती है तो समीकरण को फिर से लिखना उपयोगी है, उदाहरण के लिए, x + 6 = x + 0x + 6
- यदि आपने द्विपद सूत्र का उपयोग करते हुए बहुपद का आकलन किया है और कणों में जवाब प्राप्त किया है, तो आप एक्स के मूल्यों को अंशों में रूपांतरित कर सकते हैं ताकि सत्यापन को और आसानी से पूरा किया जा सके।
- यदि शब्द में कोई लिखित गुणांक नहीं है, तो गुणांक 1 है, उदाहरण के लिए, x = 1x
- कुछ अभ्यास के साथ, आप मानसिक रूप से बहुपक्षीय कारकों को कारगर कर सकते हैं लेकिन तब तक, हमेशा जवाब लिखना सुनिश्चित करें।
चेतावनी
- यदि आप अपने गणित कक्षा में फैक्टरिंग की अवधारणा को सीखने जा रहे हैं, तो ध्यान दें कि शिक्षक क्या कहता है और केवल अपनी पसंदीदा विधि का उपयोग न करें। आपका शिक्षक आपको परीक्षा में एक विशिष्ट पद्धति का उपयोग करने के लिए कह सकता है या ग्राफ़िंग कैलकुलेटर के उपयोग की अनुमति नहीं दे सकता है
आप की आवश्यकता होगी चीजें
- पेंसिल
- कागज
- द्विघात समीकरण (या दूसरा डिग्री बहुपद) -
- ग्राफिक कैलकुलेटर (वैकल्पिक)
सामाजिक नेटवर्क पर साझा करें:
संबद्ध
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एक बहुपद की डिग्री कैसे प्राप्त करें
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ट्रिनीमियल्स का कारक कैसे करें
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कैसे एक द्विघात समीकरण ग्राफ को
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द्विघात समीकरण को कैसे हल करें- उच्च डिग्री के बहुपदों को कैसे हल किया जाए
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