मैंडेलब्रॉट को मैन्युअल रूप से कैसे सेट करें

मैंडेलब्रॉट सेट में एक जटिल विमान में तैयार किए गए दो बिंदु होते हैं, जो भग्न: एक प्रभावशाली आकार या रूप है, जिसमें प्रत्येक भाग पूरा का एक लघु प्रति है। मैंडलब्रॉट सेट में छिपा आश्चर्यजनक और अविश्वसनीय छवियों समझ के साथ कि राफ़ील बोम्बेली काल्पनिक संख्याओं था 1500 के दशक धन्यवाद में देखना संभव थे, लेकिन यह बेनोइट मैंडलब्रॉट तक नहीं था और दूसरों की मदद से भग्न तलाश शुरू कंप्यूटर

सामग्री

चरणों
Video: मैंडलब्रॉट कठिन सर्पिल में ज़ूम और 10e + 165 500,000,000 पुनरावृत्तियों आकाशगंगाओं
युक्तियाँ
चेतावनी
Video: कोडिंग चैलेंज # 21: p5.js साथ मैंडलब्रॉट सेट

जिसने ब्रह्मांड के रहस्य का खुलासा किया

अब, आप एक आदिम रास्ते में आ सकते हैं: मैन्युअल रूप से। यहाँ केवल क्रम में, पूरे का एक साधारण प्रतिनिधित्व देखने के लिए समझने के लिए कि यह कैसे किया जाता है एक विधि है, तो आप अभ्यावेदन कि कई सॉफ्टवेयर उपलब्ध खुला स्रोत का उपयोग किया जा सकता है या आप एक देख सकते हैं की एक गहरी सराहना मिल सीडी-रोम और एक डीवीडी

चरणों

मूल सूत्र को समझता है, जिसे अक्सर व्यक्त किया जाता है z = z + c। इसका मतलब यह है कि मैन्डेलब्रॉट ब्रह्माण्ड में हर बिंदु के लिए जिसे आप देखना चाहते हैं, की गणना z जब तक एक या दो स्थितियां होती हैं - फिर कितने गणना किए जाने के लिए रंग दिखाते हैं चिंता मत करो! निम्न चरणों के साथ कि अधिक समझदार होगा

3 पेंसिल हैं या क्रेयॉन विभिन्न रंगों के, या मार्कर अनुभवी टिप के साथ, प्लस ए पेंसिल या काली पेंसिल कलम किनारे बनाने के लिए। कारण यह है कि तीन रंगों की ज़रूरत है, क्योंकि पहले सन्निकटन को 3 से अधिक पुनरावृत्तियों (गुजरता या दूसरे शब्दों में, सूत्र पर 3 गुणा तक लागू होता है) के साथ किया जाएगा:

एक के साथ निशान काला, आकर्षित ड्रॉ एक बोर्ड एक पंक्ति में तीन, कागज के एक टुकड़े पर 3 से 3 वर्ग कागज़.

मार्क (काले में भी) बीच का वर्ग (0, 0). यह निरंतर का मूल्य है (ग) वर्ग के सटीक केंद्र में बिंदु से। अब प्रत्येक वर्ग 2 इकाइयों की चौड़ाई है। इसलिए 2 के मूल्यों को जोड़ या घटाना x y और प्रत्येक वर्ग के साथ, एक्स पहला नंबर ई है और दूसरा नंबर है जब किया जाए, तो यह चित्र में दिखाएगा जैसा कि आप क्रॉसओवर की कोशिकाओं का पालन करते हैं, तो वाई (दूसरी संख्या) का मूल्य समान होना चाहिए, जब आप नीचे की कोशिकाओं का अनुसरण करते हैं, तो एक्स (प्रथम नंबर) वे समान होना चाहिए

पहले पास की गणना करें या सूत्र का पुनरावृत्ति जैसा कि आप कंप्यूटर हैं (आप वास्तव में हैं, शब्द का मूल अर्थ था "व्यक्ति जो गणना करता है") आप इसे अपने द्वारा कर सकते हैं निम्नलिखित अनुमानों से प्रारंभ करें:

प्रत्येक वर्ग के z का प्रारंभिक मान (0, 0) है जब एक निश्चित बिंदु के लिए z का पूर्ण मूल्य, 2 से बड़ा या बराबर होता है, तो उस बिंदु (और उसके संबंधित वर्ग) को कहा जाता है मंडलब्रॉट सेट से बच गए ऐसा होने पर, उस बिंदु पर लागू फार्मूले के पुनरावृत्तियों की संख्या के अनुसार वर्ग को रंग दें

चरण 1, 2 और 3 के लिए उपयोग किए जाने वाले रंगों को चुनें। आप इस आलेख के प्रयोजनों के लिए क्रमशः रंग लाल, हरे और नीले रंग का प्रयोग करेंगे।

0 + 0i या (0, 0) के z के शुरुआती मूल्य को मानते हुए लाइन के तीन बोर्ड के ऊपरी बाएं कोने के लिए z के मान की गणना करें (इन अभ्यावेदनों को बेहतर ढंग से समझने के लिए युक्तियां देखें)। हम सूत्र का उपयोग करते हैं z = z + c जैसा कि पहले चरण में वर्णित है। आप इसे जल्दी से देखेंगे, इस मामले में, z + c यह बस है ग, क्योंकि शून्य स्क्वायर शून्य है और क्या है ग इस वर्ग के लिए? (-2, 2)

इस बिंदु का पूर्ण मूल्य निर्धारित करें - जटिल संख्या (a, b) का पूर्ण मूल्य a + b का वर्गमूल है। अब, जैसा कि हम किसी ज्ञात मान से तुलना करते हैं: 2, हम 2 के साथ + b की तुलना करके वर्ग जड़ों से बच सकते हैं, जो कि बराबर के लिए जाना जाता है 4. इस गणना में, ए = -2 और बी = 2

([-2] + 2) =

(4 + 4) =

8 4 से ज्यादा है

आप पहले गणना के बाद मंडलब्रॉट सेट से बच गए हैं, इसलिए पूर्ण मूल्य 2 से अधिक है। चरण 1 के लिए आपने जो कलम चुना है उसके साथ रंग चुनें।

Mandelbrot_set_419.jpg" वर्ग ="छवि लाइटबॉक्स"> मंडलब्रॉट_सेट_419 शीर्षक वाली छवि

बोर्ड पर प्रत्येक वर्ग के लिए ऐसा करें, जो कि केंद्र स्क्वायर को छोड़कर, जो तीसरे चरण (और न ही वह कभी बच जाएगा) के लिए मंडलब्रॉट सेट से बच नहीं पाएगा। तो आपको केवल मध्यम वर्ग के लिए चरण 3 से सभी बाहरी वर्गों और रंग के लिए चरण 1 से रंग का उपयोग करना होगा।

एक चौकोर तीन बार बड़ा करें, 9 के लिए 9, लेकिन अभी भी अधिकतम 3 पुनरावृत्तियों को बनाए रखने।

तीसरी पंक्ति या पंक्ति के साथ शुरू करें, क्योंकि यहां यह दिलचस्प हो जाता है

पहला तत्व, (-2, 1) 2 से बड़ा है (क्योंकि (-2) + 1 को 5 हो जाता है) तो यह लाल रंग का होता है, क्योंकि यह पहले पास में मंडलब्रॉट सेट से निकल जाता है।

Video: मैंडलब्रॉट कठिन सर्पिल में ज़ूम और 10E + 165 500,000,000 पुनरावृत्तियों आकाशगंगाओं

दूसरा तत्व, (-1,5, 1) 2 से बड़ा नहीं निकलता है। यह एक्स के साथ एक्स = -1.5 और y = 1 के साथ पूर्ण मूल्य, x + y के लिए सूत्र लागू करता है:

(-1.5) = 2.25

1 = 1

2.25 + 1 = 3.25, 4 से कम, इसलिए वर्गमूल 2 से कम है।

तो दूसरे चरण में जारी रखें, z के लिए शॉर्टकट (x-y, 2xy) का उपयोग करके z + c की गणना करें (यह शॉर्टकट कैसे प्राप्त होता है पर युक्तियां देखें), एक्स = -1.5 और y = 1 के साथ जारी रखें:

(-1.5) - 1 2.25 -1 बदल जाता है, जो कि है 1.25-

2xy, क्योंकि एक्स -1.5 ई और वाई 1 है, यह 2 (-1.5) हो जाता है, जो उत्पादन करता है -3.0-

यह आपको (1,25, -3) का एक z देगा

अब जोड़ें ग इस सेल के लिए (एक्स से एक्स, वाई से वाई जोड़ें) परिणाम (-0.25, -2)

यदि पूर्ण मान 2 से अधिक है तो जांचें: एक्स + y की गणना करें:

(-25) = 0.0625

-2 = 4

0.0625 + 4 = 4.0625, वर्गमूल 2 से अधिक है, क्योंकि यह मूल्य दूसरी यात्रा के बाद बच जाता है: यह पहला हरा है!

जैसा कि आप पहले से ही गणना से परिचित हैं, आप कभी-कभी यह बता सकते हैं कि कौन-से संख्या मंडलब्रॉट से न सिर्फ संख्या देखकर भाग जाती है। इस उदाहरण में, y घटक की एक परिमाण 2 है, जो स्क्वायर और दूसरे नंबर के वर्ग को जोड़ते समय, 4 से अधिक होगा। 4 से अधिक कोई भी संख्या में 2 से अधिक वर्गमूल होगा। नीचे सलाह देखें अधिक विस्तृत व्याख्या के लिए

सी (-1, 1) के मान के साथ तीसरा तत्व पहली बार से बच नहीं सकता है: क्योंकि 1 और -1 दोनों वर्गमूल लेते समय 1, x + y 2 होता है। फिर शॉर्टकट का उपयोग करते हुए z + c की गणना करें (xy , 2xy) के लिए z:

(-1) -1 1-1 हो जाता है, जो 0-

2xy तो 2 (-1) = -2-

z = (0, -2)

जोड़ना सी देता है (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

यह पहले से ही एक समान निरपेक्ष मूल्य बना रहता है (दो का वर्गमूल, लगभग 1। 1 1) - एक तीसरा पुनरावृत्ती के साथ जारी है:

([-1]) - ([- 1]) 1-1 हो जाता है, जो 0 है (एक बार) ...

लेकिन अब 2xy 2 (-1) (-1) है, जो 2 सकारात्मक है, जिसके परिणामस्वरूप एक z मान (0, 2)

सी जोड़ना हम (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3) प्राप्त करते हैं, जिसमें 10 + ए की संख्या है, जो 4 से अधिक है।

इसलिए यह भी बच गया। तीसरे रंग के साथ सेल को रंग दें और अगले एक को जारी रखें, क्योंकि इस बिंदु पर सभी तीन पुनरावृत्त पूर्ण किए गए थे।

केवल तीन रंगों का उपयोग करने का कारण यहाँ एक समस्या बन जाता है, क्योंकि सिर्फ तीन पुनरावृत्तियों के बाद से बच निकलने वाली वस्तु का रंग (0, 0) ही है कभी नहीं बचें- जाहिर है आप कुछ भी नहीं देख पाएंगे "त्रुटि" विस्तार के इस स्तर पर मंडलब्रॉट का

प्रत्येक कक्ष की गणना जारी रखें जब तक आप बचने या अधिकतम पुनरावृत्तियों की संख्या प्राप्त नहीं कर रहे हैं (रंगों की संख्या जो आप उपयोग कर रहे हैं: 3 इस उदाहरण में), रंग के समय में। जैसे 9 9 9 का मैट्रिक्स प्रत्येक वर्ग में 3 पुनरावृत्तियों को रखता है ... ऐसा लगता है कि सही है!

निम्न परतों को दिखाने के लिए और अधिक रंगों (पुनरावृत्तियों) के साथ एक ही मैट्रिक्स फिर से दोहराएं, या बेहतर, लंबी अवधि के एक प्रोजेक्ट के लिए बहुत बड़ा मैट्रिक्स बनाएं। इससे अधिक सटीक चित्र प्राप्त करें:

Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533.jpg" वर्ग ="छवि लाइटबॉक्स">

मोंडेलजन_81_81_0_0_1_rgb_fast_533 शीर्षक वाली छवि

कोशिकाओं की संख्या में वृद्धि, आपके पास प्रति पक्ष 81 है। ऊपर 9 9 मैट्रिक्स की समानता देखें, लेकिन सर्कल और अंडाकार में बहुत नरम किनारों।

Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797.jpg" वर्ग ="छवि लाइटबॉक्स">

मोंडेलजन_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797 शीर्षक वाली छवि

रंगों की संख्या बढ़ाएं (पुनरावृत्तियों) - आपके पास लाल, हरे और नीले रंग के 256 रंग हैं, जो कुल मिलाकर 768 रंगों के लिए हैं। अब आप प्रसिद्ध के किनारे देख सकते हैं "झील " मंडलब्रॉट का (या "त्रुटि " यह कैसे आप के लिए देखो के आधार पर) निचली ओर यह लगता है कि समय की मात्रा होती है, यदि आप 0 सेकंड में प्रत्येक चलना की गणना कर सकते हैं, जो सेल प्रति लगभग 2 घंटे या लेक मैंडेलब्रॉट के निकट है। यद्यपि यह 81 मैट्रिक्स द्वारा 81 का एक अपेक्षाकृत छोटा हिस्सा है, फिर भी इसे पूरा करने के लिए शायद एक वर्ष भी लगेगा, यहां तक कि प्रति दिन कई घंटे काम करने के लिए भी। यह वह जगह है जहां कंप्यूटर की हार्ड ड्राइव काम में आता है।

युक्तियाँ

क्यों z = (एक्स-वाई, 2xy)?

को गुणा करना दो जटिल संख्याएं जैसे (ए, बी) के साथ (सी, डी), निम्न सूत्र का उपयोग करें, इस में समझाया गया है Mathworld लेख: (ए, बी) (सी, डी) = (एसी - बीडी, बीसी + विज्ञापन)
ध्यान रखें कि एक जटिल संख्या का एक हिस्सा है "असली" और एक "काल्पनिक", उत्तरार्द्ध एक वास्तविक संख्या है जो 1 के ऋणात्मक वर्ग के रूट से गुणा करती है, जिसे अक्सर असाइन किया जाता है मैं. जटिल संख्या (0, 0), उदाहरण के लिए, 0 + 0i और (-1, -1) है (-1) + (-1 * i)
क्या आप अभी भी वहां हैं? याद रखें कि को और ग वे शब्द हैं असली, और ख और घ शर्तें काल्पनिक। तो अगर काल्पनिक शब्दों में एक दूसरे के गुणा होते हैं, तो 1 नेशनल का वर्गमूल गुणा 1 होगा, नतीजे नतीजा होगा और उसे बदल देगा। वास्तविक- जबकि संख्याएं विज्ञापन और बीसी वे काल्पनिक बने हुए हैं, क्योंकि नकारात्मक 1 का वर्गमूल अभी भी उस उत्पाद का एक शब्द है। इसलिए हमारे पास एसी बीडी हिस्सा है असली और बीसी + विज्ञापन हिस्सा के रूप में काल्पनिक।
अब, चूंकि हम दो अलग-अलग संख्याओं को गुणा करने की बजाय संख्याओं का वर्गमूल प्राप्त कर रहे हैं, यह थोड़ा सा सरलीकृत किया जा सकता है - क्योंकि ए = सी, और बी = डी, हमारे पास उत्पाद (ए-बी, 2 एबी) है। और "जटिल विमान" अक्ष के साथ "कार्तीय विमान" के लिए एक्स जो वास्तविक संख्या और अक्ष का प्रतिनिधित्व करता है और जो काल्पनिक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, इसे भी रूप में जाना जाता है(एक्स-वाई, 2xy).

यदि आप एक बार फिर से सेल की गणना कर रहे हैं और आपको पता है कि यह वास्तव में उसी सेल के लिए एक परिणाम है, तो आपको पता चल जाएगा कि आप अंतहीन लस्सो में फंसे हैं - ये कोशिकाओं को कभी नहीं बचाना होगा तो आप एक शॉर्टकट ले सकते हैं, अंतिम रंग के साथ उस कक्ष को रंग और अगले एक पर जा सकते हैं, (0,0) यह स्पष्ट रूप से उन कोशिकाओं में से एक है

क्या आप कई गणना किए बिना जटिल संख्या के पूर्ण मूल्य का आकलन करने के बारे में अधिक जानना चाहते हैं?

जटिल संख्या (ए, बी) का पूर्ण मूल्य एक + बी का वर्गमूल है, जो सूत्र के बराबर है सीधे त्रिकोण, क्योंकि को और ख वे कार्टेशियन ग्रिड पर एक दूसरे के सही कोण पर (क्रमशः एक्स और वाई निर्देशांक) प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, क्योंकि यह ज्ञात है कि मंडलब्रॉट का सेट 2 के मान से जुड़ा हुआ है और दो स्क्वायर 4 है, यह संभव है कि अगर एक्स + वाई देखकर वर्ग की जड़ें सोचने से बचें >= 4

यदि किसी भी कोने में त्रिकोण सीधे लंबाई है >= 2, तो कर्ण (विकर्ण पक्ष) 2 से भी अधिक लंबा होना चाहिए। यदि आप देखते हैं कि यह नहीं है, तो कार्टेशियन ग्रिड पर कुछ सही त्रिकोण खींचना है और यह कुछ स्पष्ट होगा, या इसे इस तरह सोचें: 2 = 4 और दूसरा जोड़ें सकारात्मक संख्या इतना है कि (और एक नकारात्मक संख्या squaring हमेशा सकारात्मक होगा) कुछ नहीं हो सकता 4 से कम। इसलिए, अगर किसी जटिल संख्या के किसी भी घटक एक्स या वाई में 2 या अधिक की परिमाण है, तो संख्या का पूर्ण मूल्य दो या उससे अधिक के बराबर है, फिर यह मैंडेलब्रॉट सेट से बच गया है।

गणना करने के लिए "आभासी चौड़ाई" प्रत्येक कोशिका का, विभाजित करता है "आभासी व्यास" अंदर "एक से छोटी कोशिकाओं की संख्या"। पिछले उदाहरणों में 4 का एक आभासी व्यास का उपयोग किया गया था, क्योंकि हम 2 के दायरे के भीतर सब कुछ दिखाना चाहते हैं (मंडलब्रो सेट 2 के मूल्य से जुड़ा हुआ है) 3 चेहरे / पक्ष के सन्निकटन के लिए, जहां 4 / (3 - 1), क्या है 4/2, परिणाम 2. 9 पक्षों के वर्ग के लिए यह है 4 / (9 - 1), क्या है 4/8, परिणाम 0.5. ऊँचाई और चौड़ाई दोनों के लिए आभासी सेल के समान आकार का प्रयोग करें, भले ही आप एक तरफ दूसरे की तुलना में अधिक करें, अन्यथा यह विकृत हो जाएगा।