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कैसे एक द्विघात समीकरण ग्राफ को

जब graphed, फार्म का द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी

या एक (एक्स - एच) + कश्मीर, एक यू-आकार की वक्र या उलटा यू वक्र बनाएं परवलय। एक द्विघात समीकरण को रेखांकित करना उसके शीर्ष, दिशा और आमतौर पर इसके अक्षों (x, y) पर इसके छंदों को खोजने का मामला है। यदि यह एक अपेक्षाकृत सरल द्विघात समीकरण है, तो परिणामस्वरूप अंक वाले वक्र को छानने के लिए एक्स के मूल्यों के साथ एक तालिका बनाने के लिए पर्याप्त हो सकता है। आरंभ करने के लिए नीचे चरण 1 देखें।

चरणों

ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण स्टेप 1 शीर्षक वाला छवि

Video: बहुपद / द्विघात समीकरण , कक्षा 10 (गणित) मूलों की प्रकृति खोजें

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आप किस प्रकार कार्य करेंगे I द्विघात समीकरण 3 तरीकों से लिखा जा सकता है: विकसित रूप, कैनोनिकल फॉर्म और उत्प्रेरक रूप। आप द्विघात समीकरण को ग्राफ़ के लिए 3 तरीकों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं - लेकिन हर एक की साजिश रचने की प्रक्रिया थोड़ी भिन्न होती है। यदि आप एक स्कूल की नियुक्ति करने जा रहे हैं, तो आपको आमतौर पर निम्नलिखित दो तरीकों में से किसी एक में समस्या प्राप्त होगी, दूसरे शब्दों में, आप चुनने में सक्षम नहीं होंगे, इसलिए दोनों विधियों को समझना बेहतर होगा। द्विघात समीकरण के दो रूप हैं:
  • विकसित प्रपत्र. इस रूप में, द्विघात समीकरण को एफ (x) = कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी- के रूप में लिखा जाता है जहां ए, बी और सी वास्तविक संख्या हैं और 0 से भिन्न है।
  • उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण के दो विकसित रूप हैं: f (x) = x + 2x + 1 और f (x) = 9x + 10x -8
  • कैनोनिकल फॉर्म. इस रूप में, द्विघात समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है: f (x) = a (x - h) + k- जहां a, hyk वास्तविक संख्या हैं और 0 से भिन्न है। वैमाणिक रूप को बाद के आकार के रूप में भी जाना जाता है Hyk वे सीधे बिंदु (एच, कश्मीर) पर परवलय के शीर्ष (केंद्रीय बिंदु) आपको दे।
  • दो कैनोनिकल समीकरण एफ (एक्स) = 9 (x - 4) + 18 और -3 (x - 5) + 1 हैं
  • इनमें से किसी भी प्रकार के समीकरणों को ग्राफ़ करने के लिए, सबसे पहले परोबोला का शीर्ष पता लगाएं, जो वक्र के अंत में केंद्र बिंदु (एच, कश्मीर) है। विकसित रूप में शीर्ष के निर्देशांक: द्वारा दिए गए हैं: h = -b / 2a और k = f (h), जबकि वैमाणिक रूप में, h और k समीकरण में निर्दिष्ट हैं।
  • ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण चरण 2 शीर्षक वाला चित्र
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    चर को परिभाषित करें द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, ए, बी, और सी (या ए, एच, और कश्मीर) को सामान्यतः परिभाषित किया जाना चाहिए आम तौर पर गणित की समस्याओं में चर के मूल्य दिए जाते हैं, आमतौर पर एक विकसित रूप में, लेकिन कभी-कभी कैनन के रूप में भी।
  • उदाहरण के लिए, विकसित समीकरण f (x) = 2x + 16x + 39, हमारे पास एक = 2, बी = 16 और c = 39 है।
  • कैनोनिकल फॉर्म एफ (एक्स) = 4 (एक्स -5) + 12 के लिए, हमारे पास एक = 4, एच = 5 और के = 12 है।
  • ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण स्टेप 3 शीर्षक वाला छवि
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    एच की गणना करें विहित समीकरणों में, ज के मान पहले से ही दिए गए हैं, लेकिन विकसित रूप के समीकरणों में यह गणना की जानी चाहिए। याद रखें, विकसित रूप के समीकरणों के लिए, h = -b / 2a
  • हमारे विकसित रूप समीकरण उदाहरण में हमारे पास (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2) है। हल, हम पाते हैं कि एच = -4.
  • कैनोनिकल फॉर्म (एफ (एक्स) = 4 (एक्स -5) + 12) के हमारे उदाहरण में, हम जानते हैं कि एच = 5, बिना किसी गणितीय ऑपरेशन के।
  • ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण स्टेप 4 शीर्षक वाला छवि
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    कश्मीर की गणना करें एच के समान, कश्मीर केनोनिकल समीकरणों में दिए गए मान हैं। विकसित रूप में समीकरणों के लिए, याद रखें कि k = f (h) दूसरे शब्दों में, आप समीकरण में एक्स के प्रत्येक मान को ज से मिले मूल्य के साथ क द्वारा पा सकते हैं।
  • हमारे उदाहरण में एच = -4 का मान कश्मीर खोजने के लिए, हम एक्स को जरूरी मान के आधार पर समीकरण को हल करते हैं:
  • कश्मीर = 2 (-4) + 16 (-4) + 3 9
  • कश्मीर = 2 (16) - 64 + 3 9
  • कश्मीर = 32 - 64 + 39 = 7.
  • हमारे उदाहरण में प्रामाणिक रूप में, हम पहले से ही किसी भी गणितीय ऑपरेशन के बिना (जो 12 है) का मान जानते हैं।

  • Video: CLASS 10 CHAPTER 4 PART 1 | कक्षा 10 | द्विघात समीकरण | भाग 1

    ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण शीर्षक वाली छवि चरण 5
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    शीर्ष को खींचें परबोल का शीर्ष बिंदु होगा (एच, कश्मीर) - एच एक्स के निर्देशांक विशिष्ट होगा, जबकि कश्मीर y के निर्देशांक को निर्दिष्ट करता है। शीर्ष परोबा की केंद्रीय बिंदु है, या तो एक के निचले हिस्से "यू" या फिर एक के अंत तक "यू" उल्टे। शिखर के मूल्य को जानना एक परवलय को सही ढंग से ग्राफ के लिए महत्वपूर्ण महत्व है, आम तौर पर, स्कूल के कार्यों में, सवाल को शीर्ष को निर्दिष्ट करने के लिए कहा जाता है
  • विकसित रूप में हमारे उदाहरण में, हमारे शीर्ष (-4, 7) है। इसलिए, परबॉला का अधिकतम बिंदु 0 की बाईं ओर 0 और 7 स्थान के ऊपर चार स्थान है (0, 0)। इस बिंदु को ग्राफ़ पर प्लॉट किया जाना चाहिए, जिससे निर्देशांक को चिह्नित करना सुनिश्चित हो।
  • हमारे विहित उदाहरण में, शीर्ष बिंदु बिंदु (5, 12) पर स्थित है। हमें बिंदु के ऊपर 5 स्थान और बिंदु (0, 0) से ऊपर 12 स्थान खींचना चाहिए।



  • ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण शीर्षक वाली छवि चरण 6
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    परोबाला (वैकल्पिक) का सममित अक्ष खींचना एक परबोल की सममितता की धुरी एक रेखा है जो इसे आधे से पार करती है और जो परोबा को दो समान भागों में विभाजित करती है। इस अक्ष के माध्यम से, परोबा की बाईं तरफ इसके बाईं तरफ का प्रतिबिंब होगा। एफ़ + बीएक्स + सी या ए (एक्स - एच) + कश्मीर के समीकरणों के लिए, अक्ष वाई अक्ष (दूसरे शब्दों में, पूरी तरह से ऊर्ध्वाधर) के लिए समानांतर रेखा है जो कि शिखर से पार होती है
  • हमारे उदाहरण में, विकसित रूप में मामले के साथ, अक्ष एक्स-अक्ष के समानांतर रेखा है (बिंदु -4, 7)। यद्यपि यह दृष्टान्त का हिस्सा नहीं है, लेकिन इस पंक्ति को अपने ग्राफ पर कमजोर तरीके से चिह्नित करने से आपको यह देखने में मदद मिल सकती है कि परोबाला कैसे सममित रूप से घटता है।
  • ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण का शीर्षक शीर्षक चित्र 7
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    उद्घाटन का पता लगाएं। परबोल के शिखर और सममित अक्ष को खोजने के बाद, हमें यह जानना होगा कि परोबा को ऊपर या नीचे खुल जाता है या नहीं। सौभाग्य से, यह एक सरल प्रक्रिया है अगर "को" सकारात्मक है, परोबाला खुल जाएगा, लेकिन अगर "को" ऋणात्मक है, परबोल नीचे खुल जाएगा (अर्थात यह एक औंधा यू आकार होगा)।
  • हमारे विकसित समीकरण उदाहरण (एफ (एक्स) = 2x + 16x + 39) में, हम जानते हैं कि परवलय खुलता है क्योंकि समीकरण में = 2 (पॉजिटिव)।
  • हमारे विहित समीकरण उदाहरण (एफ (एक्स) = 4 (एक्स -5) + 12) में, हम जानते हैं कि परोबोला फिर से खुलता है क्योंकि एक = 4 (पॉजिटिव)।
  • ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण स्टेप 8 शीर्षक वाला छवि
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    यदि आवश्यक हो, एक्स के छंदों को ढूंढें और उनका पता लगा लें। आमतौर पर, कार्यों में, आपको एक्स के छंदों को खोजने के लिए कहा जाता है (जो कि है एक या दो बिंदुएं जहां परबोला एक्स-एक्स में कटौती करता है)। यहां तक ​​कि अगर आप उन्हें खोजने के लिए नहीं जा रहे हैं, तो ये दो बिंदु अमूल्य हो सकते हैं जब यह एक सटीक परवलय की योजना बनाने की बात आती है। हालांकि, सभी पैराबोलाओं में एक्स में अंतर नहीं है यदि परबॉला में एक शिखर है जो एक्स अक्ष से ऊपर खुलता है या यदि यह खोलता है और एक्स अक्ष के नीचे उसका शीर्ष है, आपको x में कोई अवरोधन नहीं होगा. अन्यथा, निम्नलिखित विधियों में से एक के साथ एक्स के अवरोधों को हल करें:
  • बस एफ (एक्स) = 0 को हल करें और समीकरण को हल करें। यह विधि सरल वर्गसमीय समीकरणों (विशेषकर कैनोनिकल फॉर्म में) के लिए काम कर सकती है, लेकिन अधिक जटिल समीकरणों में लागू करना बेहद मुश्किल है। नीचे एक उदाहरण देखें:
  • एफ (एक्स) = 4 (एक्स - 12) - 4
  • 0 = 4 (x - 12) - 4
  • 4 = 4 (एक्स - 12)
  • 1 = (एक्स - 12)
  • वर्ग रूट (1) = (x - 12)
  • +/ - 1 = एक्स -12 x = 11 और 13 वे परोबा के एक्स में छंद हैं
  • फैक्टर समीकरण. एफ़ + बीएक्स + सी के कुछ समीकरणों को आसानी से फार्म (डीएक्स + ई) (एफएक्स + जी) से कारगर बनाया जा सकता है, जहां डीएक्स × एफएक्स = कुल्हाड़ी, (डीएक्स × जी + एफएक्स × ई) = बीएक्स, ई एक्स = सी। इस स्थिति में, x में दिए गए अंतराल x के मान हैं, जिसके लिए कोष्ठक के भीतर के मूल्य 0 के बराबर हैं। उदाहरण के लिए:
  • x + 2x + 1
  • = (एक्स + 1) (एक्स + 1)
  • इस मामले में, एक्स में एकमात्र अवरोधन -1 होता है क्योंकि x 1 -1 को बदलने से प्रत्येक कोष्ठक में 0 के बराबर माना जाता है।
  • द्विघात सूत्र का उपयोग करें। यदि आप आसानी से एक्स के अवरोधों को हल नहीं कर सकते हैं या यदि आप समीकरण को कारगर नहीं कर सकते, तो विशेष समीकरण का उपयोग करें इस उद्देश्य के लिए डिज़ाइन किया गया द्विघात सूत्र। यदि यह विकसित रूप में नहीं है, तो समीकरण को हल करें ताकि यह एउड + बीएक्स + सी का हो, फिर सूत्र, x = (-b +/- वर्गमूल (बी -4 एसी)) / 2 ए में ए, बी और सी की जगह लें। ध्यान दें कि यह आमतौर पर आपको एक्स के लिए दो जवाब देता है, जो ठीक है, इसका मतलब यह है कि परोबा के एक्स में दो आक्षेप हैं। निम्न उदाहरण देखें:
  • -5x + 1x + 10 को द्विघात सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है:
  • x = (-1 +/- (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
  • x = (-1 +/- वर्गमूल (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- वर्गमूल (201)) / - 10
  • एक्स = (-1 +/- 14,18) / - 10
  • एक्स = (13,18 / -10) और (-15,18 / -10)। पैराबोला के एक्स में अंतराल लगभग एक्स = है -1,318 और 1,518
  • पिछला उदाहरण, 2x + 16x + 39, निम्नानुसार द्विघात सूत्र में बदल दिया गया है:
  • x = (-16 +/- वर्गमूल (16 - 4 (2) (3 9)) / 2 (2)
  • x = (-16 +/- वर्गमूल (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- वर्गमूल (-56) / - 10
  • चूंकि एक नकारात्मक संख्या का वर्गमूल खोजने के लिए असंभव है, हम जानते हैं कि एक्स में कोई आक्षेप नहीं हैं विशेष रूप से इस दृष्टान्त के लिए
  • ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण का शीर्षक चित्र 9
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    यदि आवश्यक हो, तो y अवरोधों को ढूंढें और ढूंढें। यद्यपि यह आमतौर पर अवरोध और समीकरण (बिंदु है जिस पर कटौती y- अक्ष परवलय) लगाने के लिए आवश्यक नहीं है, वे तुम्हें विशेष रूप से स्कूल के काम में ऐसा करने के लिए पूछ सकते हैं,। प्रक्रिया काफी सरल है, बस के बराबर होती है x = 0, तो च या y (एक्स) के लिए समीकरण, जो y जिसमें परवलय छू लेती है धुरी के मूल्य देता है का समाधान। एक्स में अंतरों के विपरीत, विकसित पैराबोला केवल y में एक अवरोधन कर सकते हैं। नोट: विकसित रूप के समीकरणों के लिए, y अवरोध बिंदु y = c पर होता है
  • उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि हमारे द्विघात समीकरण 2x + 16x + 39 में y = 39 में एक अवरोधन है, लेकिन यह निम्न प्रकार से भी पाया जा सकता है:
  • f (x) = 2x + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
  • एफ (एक्स) = 39. परबोल में और बीच में अवरोधन बिंदु पर है y = 3 9. जैसा कि ऊपर बताया गया है, y में अवरोधन y = c के बराबर है।
  • प्रामाणिक रूप 4 (x - 5) + 12 के हमारे समीकरण में एक अवरोधन है और इसे निम्नलिखित तरीके से प्राप्त किया जा सकता है:
  • f (x) = 4 (x - 5) + 12
  • एफ (एक्स) = 4 (0 - 5) + 12
  • f (x) = 4 (-5) + 12
  • एफ (एक्स) = 4 (25) + 12
  • एफ (एक्स) = 112. परोबोला में और अवरोधन बिंदु पर है y = 112.
  • ग्राफ़ एक द्विघात समीकरण शीर्षक वाला चित्र 10 कदम
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    यदि आवश्यक हो, अतिरिक्त अंक आकर्षित करें, फिर ग्राफ़ अब आपको शिखर, दिशा, एक्स में अवरोधन (एस) और संभवतः द्विघात समीकरण के वाई में एक अवरोधन होना चाहिए। इस बिंदु पर, आप एक गाइड के रूप में आपके पास अंक का उपयोग करके परबाला को आकर्षित करने का प्रयास कर सकते हैं या आप इसके लिए अधिक अंक पा सकते हैं "भरना" परोबाला और एक अधिक सटीक वक्र खींचें। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका यह है कि x में कुछ मान को शीर्ष के दोनों ओर बदलें, फिर इन बिंदुओं को आप y से प्राप्त होने वाले मूल्यों का उपयोग करते हैं। सामान्य तौर पर, शिक्षकों ने आपको परोबोला को चित्रित करने से पहले निश्चित अंकों की संख्या खोजने के लिए कहा।
  • चलो समीकरण x + 2x + 1 की समीक्षा करें। हम पहले से ही जानते हैं कि इसका एकमात्र अवरोध x = 1 है क्योंकि एक्स के अवरोधन ने केवल एक बिंदु को स्पर्श किया है, हम अनुमान लगा सकते हैं कि शीर्ष एक्स में इसकी रोकथाम है, जिसका अर्थ है कि शीर्ष बिंदु (-1, 0) में है। वास्तव में, हमारे पास इस दृष्टान्त के लिए केवल एक बिंदु है, हमारे पास एक अच्छा ग्राफ बनाने के लिए पर्याप्त डेटा नहीं है। सटीक ग्राफ आकर्षित करने में सक्षम होने के लिए कुछ और बिंदु ढूंढें।
  • चलिए x: 0, 1, -2 और -3 के निम्न मूल्यों के लिए y के मान पाते हैं।
  • 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1 के लिए। हमारा मुद्दा है (0.1)।
  • 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. के लिए हमारा मुद्दा है (1.4)।
  • -2: एफ (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1 के लिए। हमारा मुद्दा है (-2.1)।
  • -3 के लिए: च (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. हमारा अंक है (-3.4)।
  • ग्राफ पर इन बिंदुओं को ड्रा और यू-आकार की वक्र आकर्षित करें। ध्यान दें कि परोबाला पूरी तरह से सममित है, यदि आपके पास परवलय के एक तरफ पूर्णांक है, तो आप अक्ष के दूसरी तरफ अंक को दर्शा कर कुछ समय बचा सकते हैं इसके सममित, इसके साथ आप परोबा के दूसरी तरफ इसी बिंदु को ढूंढते हैं।

    • युक्तियाँ

    • यदि आपके शिक्षक आपको ऐसा करने के लिए कहता है तो नंबरों को गोल करें या भिन्न अंशों का उपयोग करें। यह आपको द्विघात समीकरण को सही ढंग से ग्राफ़ में मदद करेगा।
    • ध्यान दें कि f (x) = ax + bx + c- अगर b या c 0 के बराबर हैं, तो ये संख्या गायब हो जाती है। उदाहरण के लिए, 12x + 0x + 6 12x + 6 बन जाता है क्योंकि 0x बराबर 0 है।
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