डेरिवेटिव की गणना कैसे करें
व्युत्पत्तियों को एक ग्राफ पर कई उपयोगी सुविधाएं प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, जैसे कि अधिकतम, न्यूनतम, ढलान आदि। आप जटिल समीकरणों को ग्राफ़ के लिए उपयोग कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, डेरिवेटिव प्राप्त करना बहुत ही कठिन है, लेकिन यह लेख आपको कुछ सुझाव और युक्तियां बताएगा जो आपकी सहायता कर सकते हैं।
सामग्री
चरणों
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समझें कि व्युत्पन्न का अंकन क्या है
- लाइबनिज़ नोटेशन सबसे आम है जहां समीकरण में `वाई` और `एक्स` शामिल होता है डीआई / डीएक्स का अर्थ है `एक्स` के संबंध में y का व्युत्पन्न " यह `एक्स` और `वाई` के मूल्यों के लिए इसे / Δx के रूप में सोचने के लिए उपयोगी हो सकता है जो एक दूसरे से अन्तराल भिन्न होते हैं। यह व्याख्या स्वयं व्युत्पन्न की सीमा की परिभाषा को उधार देती है: limएच-> 0 (एफ (एक्स + एच) -एफ (एक्स)) / एच यदि आप एक दूसरे व्युत्पन्न के लिए इस नोटेशन का उपयोग करते हैं, तो आपको लिखना चाहिए: dy / dx
- लग्रेज संकेतन एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को `एफ` (x) के रूप में भी लिखा गया है। इस संकेतन को "एक्स का एफ बोनस" कहा जाता है। यह संकेतन लाइबनिट्स की तुलना में छोटा है, और जब हम फ़ंक्शन के रूप में व्युत्पन्न देखते हैं तब उपयोगी होता है। उच्च-आदेश डेरिवेटिव बनाने के लिए, बस "एफ" के लिए दूसरे "`" जोड़ें, ताकि दूसरा व्युत्पन्न एफ` `(एक्स) हो।
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समझें कि व्युत्पन्न क्या है, और इसके लिए क्या उपयोग किया जाता है। सबसे पहले, एक लाइन ग्राफ़ के ढलान को खोजने के लिए, रेखा के दो बिंदु लें, और उनके निर्देशांक समीकरण (और2 - और1) / (एक्स2 - एक्स1)। हालांकि, यह केवल लाइन ग्राफ़ के साथ प्रयोग किया जा सकता है द्विघात और उच्च रैंक समीकरणों के लिए, लाइन घुमावदार हो जाएगी, इसलिए दो बिंदुओं के "अंतर" को सही नहीं होगा। घुमावदार ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान को ढूँढने में सक्षम होने के लिए: [f (x + dx) - f (x)] / dx डीएक्स का अर्थ "डेल्टा एक्स" है, जो ग्राफ़ पर दो बिंदुओं के एक्स के दो निर्देशांक के बीच अंतर है। ध्यान दें कि यह समीकरण समान है (और2 - और1) / (एक्स2 - एक्स1), केवल एक अलग तरीके से चूंकि हम जानते हैं कि परिणाम गलत होगा, हमें एक अप्रत्यक्ष दृष्टिकोण रखना चाहिए। (एक्स, एफ (एक्स)) में स्पर्शरेखा के ढलान को खोजने के लिए, डीएक्स को 0 पर पहुंचा जाना चाहिए, ताकि दो बिंदुओं को एक बिंदु में शामिल किया जाए। हालांकि, आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते हैं, इसलिए दो बिंदुओं के मूल्य डालने के बाद, आपको समीकरण के निचले भाग में डीएक्स को रद्द करने के लिए अन्य विधियों को कारगर करना होगा। एक बार जब आप ऐसा कर लें, तो 0 को डीएक्स सेट करें और हल करें। यह (एक्स, एफ (x)) में स्पर्शरेखा का ढलान है। एक समीकरण का व्युत्पन्न एक ग्राफ के किसी भी स्पर्शरेखा के ढलान को खोजने के लिए सामान्य समीकरण है। यह बेहद जटिल लग सकता है, लेकिन यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो व्युत्पन्न कैसे प्राप्त कर सकते हैं।
विधि 1
स्पष्ट भेदभाव
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स्पष्ट रूप से भिन्नता का उपयोग करें जब आपके पास `और` एक तरफ।
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Video: कुछ महत्वपूर्ण गणित के सवाल सबके लिए आवश्यक fnl
समीकरण में समीकरण रखो [च (एक्स + डीएक्स) - एफ (एक्स)] / डीएक्स। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण y = x था, तो व्युत्पन्न [(x + dx) - x] / dx होगा।
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समीकरण [डीएक्स (2x + डीएक्स)] / डीएक्स बनाने के लिए विस्तार और कारक डीएक्स। अब आप शीर्ष और नीचे दो डीएक्स को रद्द कर सकते हैं। परिणाम 2x + dx है, और जब dx 0 तक पहुंचता है, व्युत्पन्न 2x है। इसका अर्थ है कि ग्राफ़ y = x के किसी स्पर्शरेखा का ढलान 2x है। बस उस स्थान पर एक्स के मूल्य को जगह दें जहां आप ढलान को ढूंढना चाहते हैं।
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समान समीकरणों के लिए व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए पैटर्न जानें। नीचे कुछ उदाहरण हैं:
विधि 2
Implicit भेदभाव
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एक अंतर्निहित भेदभाव का प्रयोग करें जब समीकरण आसानी से `वाई` के साथ एक तरफ आसानी से नहीं लिखा जा सकता है। यहां तक कि अगर आप `और` एक तरफ लिख सकते हैं, तो कंप्यूटर / डीएक्स कंप्यूटिंग थकाऊ होगा। इन प्रकार के समीकरणों को हल करने के कुछ उदाहरण नीचे दिए गए हैं।
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इस उदाहरण में, xy + 2y = 3x + 2y, f (x) से y को प्रतिस्थापित करें, इसलिए आपको याद होगा कि `y` फ़ंक्शन है समीकरण xf (x) + 2 [f (x)] = 3x + 2f (x) हो जाता है
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इस समीकरण के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, आपको एक्स के संबंध में समीकरण के दोनों ओर व्युत्पन्न करना चाहिए। समीकरण तब xf `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)] f` (x) = 3 + 2f `(x) हो जाता है।
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फिर से `वाई` के साथ f (x) को बदलें एफ `(एक्स) के साथ ऐसा नहीं करने के लिए सावधान रहें, जो एफ (एक्स) से अलग है।
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एफ `(एक्स) के लिए हल करें इस उदाहरण का उत्तर ऐसा दिखेगा: (3 - 2xy) / (x + 6y - 2)।
विधि 3
मेजर ऑर्डर डेरिवेटिव
1
किसी फ़ंक्शन से अधिक ऑर्डर के व्युत्पन्न की गणना के लिए व्युत्पन्न के व्युत्पन्न (2 के क्रम में) की गणना करने का मतलब है। उदाहरण के लिए, यदि आपको तीसरे क्रम व्युत्पन्न की गणना करने के लिए कहा जाता है, तो आपको व्युत्पन्न के व्युत्पन्न के व्युत्पन्न की गणना करना है। कुछ समीकरणों के लिए, उच्च आदेश का व्युत्पन्न 0 तक पहुंच जाता है
विधि 4
चेन का नियम
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जब `y` `y` से प्राप्त एक फ़ंक्शन होता है, और `z` एक `z` से प्राप्त फ़ंक्शन होता है, और `z` एक `एक्स` से प्राप्त फ़ंक्शन होता है, और `वाई` के व्युत्पन्न ` एक्स `(डीआई / डीएक्स) है (डीआई / डीयू) * (डीयू / डीएक्स) श्रृंखला नियम समीकरणों को भी लिख सकता है, जैसे यह एक: (2x - x) व्युत्पन्न को खोजने के लिए, बस उत्पाद नियम के बारे में सोचें। शक्ति द्वारा समीकरण को गुणा करें और 1 की शक्ति कम करें। फिर शक्ति के इंटीरियर के व्युत्पन्न (इस मामले में, 2x ^ 4 - x) से समीकरण को गुणा करें। इस समस्या का उत्तर 3 (2x - x) (8x - 1) है
Video: Refraction of Light Through a Prism.प्रिज्म से अपवर्तन,प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक
युक्तियाँ
- आपको अपने कैलकुलेटर को अच्छी तरह से पता होना चाहिए - इसके उपयोगों को जानने के लिए आपके कैलकुलेटर के कई कार्यों का प्रयास करें यह आपके कैलकुलेटर के स्पर्शरेखा और व्युत्पन्न फ़ंक्शन का उपयोग करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।
- `Yz` (जहां `y` और `z` फ़ंक्शन होते हैं) का व्युत्पन्न केवल 1 नहीं है, क्योंकि `y` और `z` अलग फ़ंक्शंस हैं। उत्पाद नियम का उपयोग करें: yz = y (1) + z (1) = y + z
- उत्पाद नियम, भागफल नियम, श्रृंखला नियम और विशेष रूप से अंतर्निहित भेदभाव का अभ्यास करें, क्योंकि आप गणना में सबसे कठिन हैं।
- बुनियादी त्रिकोणमितीय डेरिवेटिव याद रखें और उन्हें कैसे हेरफेर करने के लिए।
- अगर आपको बड़ी समस्या दिखाई देती है, तो चिंता न करें। नियमों को लागू करके इसे छोटे टुकड़ों में अलग करने का प्रयास करें। फिर उन हिस्सों के व्युत्पन्न को अलग-अलग गणना करने का प्रयास करें
चेतावनी
- यह मत भूलो कि ऋण चिह्न विपरीत फ (जी से व्युत्पन्न) जब आप उद्धरण नियम का उपयोग करते हैं - यह एक बहुत ही आम गलती है जो आपको पूरी समस्या को गलत बना सकती है।
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