कैसे त्रिकोणमितीय असमानता को हल करने के लिए

एक त्रिकोणमितीय असमानता में आर च [एफ (एक्स), जी (x), ...]> 0 (या में चर चाप एक्स के एक या कई त्रिकोणमिति फ़ंक्शंस होते हैं < 0), जिसमें f (x), g (x), ... त्रिकोणमितिक कार्य चाप x क्लियरिंग "एक्स" का अर्थ चर चर एक्स के मूल्यों को खोजने के लिए होता है जिनके त्रिकोणमितीय कार्यों से असमानता संतुष्ट हो जाती है। "X" के इन सभी मूल्यों को त्रिकोणमितीय असमानता का समाधान सेट बनाते हैं, जो अंतराल में व्यक्त किया जाता है। आर्क x के मान रेडियन या डिग्री में व्यक्त किए जाते हैं।

सामग्री

चरणों
Video: संयोजकता निकालने का ट्रिक, valency trick in hindi by-rakesh sir
Video: two variable equation solution 10th class /दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल 10th class
Video: त्रिकोणमिति अनुपातों के कोणों का मान सबसे आसानी से निकाले।

त्रिकोणमितीय असमानताओं के उदाहरण:

पाप x + sin 2x> -न 3x - पाप x + sin 3x < 1 - 2tan x + tan 2x> 3cot x - cos 2x -2> -3सेन x

चरणों

Video: संयोजकता निकालने का ट्रिक, valency trick in hindi by-RAKESH SIR

एक त्रिकोणमिति असमानता को हल करने के लिए, इसे कई बुनियादी त्रिकोणमितीय असमानताओं में बदलना। त्रिकोणमितीय असमान को हल करने से अंततः मूल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की ओर जाता है।

परिवर्तन प्रक्रिया उसी तरह होती है, जो त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए इस्तेमाल की जाती थी।
समानता में प्रस्तुत सभी त्रिकोणमितीय कार्यों की अवधि के एक त्रिकोणमितीय असमानता की आम अवधि कम से कम आम बहुविध है
उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय असमानता पाप x + sin 2x + cos x / 2 < 1 में एक आम अवधि के रूप में 4Pi है।
उदाहरण के लिए, त्रिकोणमिति अभिव्यक्ति तन x + cot x / 2 में सामान्य अवधि के रूप में 2Pi है।
जब तक अन्यथा संकेत नहीं दिया जाता है, एक त्रिकोणमिति असमानता का समाधान कम से कम एक पूर्ण सामान्य अवधि के भीतर हल किया जाना चाहिए।

मूल त्रिकोणमितीय असमानताओं के 4 प्रकारों को जानें:

पाप x> ए (या < ए) - कॉस एक्स> ए (या < क)

तो एक्स> एक (या < ए) - खाट एक्स> ए (या < क)

Video: Two variable equation solution 10th class /दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल 10th class

इन मूल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीके के बारे में जानने के लिए, "त्रिकोणमिति: त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को सुलझाने "(" ट्रिग: को सुलझाने के समीकरण और त्रिकोणमितीय असमानताओं ")। (अमेज़न ई-पुस्तक 2010) बुनियादी त्रिकोणमितीय inequations हल करने के लिए, हम के चाप चर x है, जो में घूमती विभिन्न स्थानों का अध्ययन के लिए आगे बढ़ें त्रिकोणमितीय इकाई की परिधि और त्रिकोणमितीय तालिकाओं या कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए

उदाहरण 1: हल: पाप x> 0.70 9

समाधान: त्रिकोणमिति इकाई परिधि और त्रिकोणमितीय तालिका समाधान सेट प्रदान करते हैं।

पी / 4 + 2 के.पी < एक्स < 3 पी / 4 + 2 के.पी

उदाहरण 2: समाधान: तन x < 0.414

समाधान: त्रिकोणमितीय तालिका और त्रिकोणमितीय इकाई परिधि समाधान सेट प्रदान करते हैं।

-पी / 2 + के.पी. < एक्स < पी / 8 + के.पी.

यदि त्रिकोणमितीय असमानता में केवल एक त्रिकोणमितीय कार्य होता है, तो उसे मूल त्रिकोणमिति असमानता के रूप में हल करें। यदि असमानता अधिक जटिल है और इसमें दो या अधिक त्रिकोणमिति फ़ंक्शन हैं, तो उसे 4 चरणों में हल करें

हल ट्रिगोनमेट्रिक असमानता चरण 5 में छवि का चित्रण

चरण 1: मानक फॉर्म आर [x]> 0 (या।) को दी असमानता को बदल देती है < 0)।

उदाहरण: असमानता (कॉस 2x < 2 + 3 एस एक्स) मानक रूप में परिवर्तित हो जाएगा: आर [x] = कॉस 2x - 3 x x -2 < 0।

उदाहरण: असमानता (2tan x + tan 2x> 3cot x) को आर [x] = 2tan x + tan 2x - 3cot x> 0 में बदल दिया जाएगा।

चरण 2 आम अवधि खोजें असमानता में निहित सभी त्रिकोणमितीय कार्यों की अवधि के एक त्रिकोणमितीय असमानता की सामान्य अवधि कम से कम आम बहुविध होना चाहिए।

उदाहरण: त्रिकोणमितीय असमानता आर [x] = cos 2x - 3 x x - 2 < 0 में एक सामान्य अवधि के रूप में एक 2 पीआई है, जो कि 2 अवधि के कम से कम सामान्य गुण है: 2 पी और पीआई

उदाहरण: 2pi, पाई और 2pi / 3: त्रिकोणमितीय inequation पाप x + पाप 2x + पाप 3x> 0 आम अवधि, जो 3 अवधियों की सबसे छोटा आम गुणक के रूप में 2pi गया है।

उदाहरण: त्रिकोणमिति असमानता पाप 3x + cos x / 2 - 1 < 0 में एक सामान्य अवधि के रूप में एक 4Pi है

चित्रित किया गया सोलित त्रिकोणमितीय असमानता चरण 7

Video: त्रिकोणमिति अनुपातों के कोणों का मान सबसे आसानी से निकाले।

चरण 3 त्रिकोणमितीय समीकरण आर [x] = 0 को दिए गए और इसे से "एक्स" साफ़ करें। त्रिकोणमितीय समीकरण आर [x] = 0 को बदलने और हल करने के लिए, कृपया विकीहो साइट पर आलेख "त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें" पढ़ें। याद करने के लिए, यहां 2 दृष्टिकोण हैं:

एक। पहला दृष्टिकोण कई मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों के उत्पाद में दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को रूपांतरित करता है। फिर, इन बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को समान अवधि के भीतर एक्स के सभी मूल्यों को खोजने के लिए अलग से हल किया जाता है। एक्स के ये मूल्य STEP 4 में उपयोग किए जाएंगे।

उदाहरण: निम्नलिखित त्रिकोणमितीय असमानता को हल करें: cos x + cos 2x + cos 3x> 0

समाधान: त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग समीकरण आर को बदलने के लिए [x] = 2x क्योंकि क्योंकि x + क्योंकि + 3x = 0 निम्न उत्पाद में: 2x (1 + 2 क्योंकि x) = क्योंकि 0।

तो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल 2 f (x) = 0 और जी = cos2x (x) = 1 + 0 = cos2x आम अवधि के भीतर एक्स के सभी मूल्यों को खोजने के।

ख। दूसरा दृष्टिकोण एक त्रिकोणमितीय समीकरण में दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को रूपांतरित करता है जिसमें केवल एक त्रिकोणमिति फ़ंक्शन होता है (जिसे "टी" कहा जाता है) के रूप में एक चर। इस परिवर्तनित त्रिकोणमिति समीकरण से साफ़ करें और फिर "x" के संगत मानों के साथ "टी" के मूल्यों को संबद्ध करें। सामान्य कार्यों के चर का चयन किया जायेगा: sin x = t, cos x = t, tan x = t और tan x / 2 = t

उदाहरण: हल [x] = सीओएस 4x + 3कोस 2 एक्स + 1 < 0।

समाधान: समीकरण आर [x] को एक चतुर्भुज त्रिकोणमिति समीकरण में बदलते हैं जो कि cos2x = t को एक चर के रूप में परिवर्तित करता है:

2cos ^ 2 2x + 3cos 2x + 1 = 2t ^ 2 + 3t + 1 = 0

इस द्विघात समीकरण को हल करके "टी" ढूंढें। 2 असली जड़ें हैं: टी = -1 और टी = -1/2 फिर, निम्नलिखित मूल त्रिकोणमिति समीकरणों से "x" को साफ़ करें: cos 2x = t = -1 और cos 2x = t = -1/2 "X" के इन सभी मान STEP 4 में उपयोग किए जाएंगे।

चेक मठ समस्याएं शीर्षक वाला चित्र आसानी से चरण 2

चरण 4 आर (एक्स) को दिए गए त्रिकोणमितीय असमान को हल करें < बीजीय विधि द्वारा 0 (या> 0) चिन्हों की एक तालिका के उपयोग के साथ

उदाहरण: असमान आर [x] = पाप x + sin 3x को हल करें < -सेन 2x (1)

समाधान: मानक फ़ॉर्म निम्नानुसार है: पाप x + sin 2x + sin 3x < 0. सामान्य अवधि 2 पी है उत्पाद आर [x] = 2sen 2x (cos x - 1/2) में रूपांतरण करें (1) < 0. चरण 3 में हल करती है आर (x) = 0. बुनियादी समीकरण f (x) = पाप 2x = 0. मेहराब समाधान प्रदान कर रहे हैं का समाधान: 0, पी / 2, पाई, 3pi / 2, 2pi। तब समीकरण जी (x) = क्योंकि एक्स का समाधान - 1/2 = 0. मेहराब समाधान प्रदान पाई / 3 5Pi / 3 रहे हैं। की "x" ये सात मूल्यों आर हल करने चरण 4 में संकेत की एक तालिका का निर्माण करने के लिए इस्तेमाल किया जाएगा (एक्स) < 0 (या> 0)

इमेज का शीर्षक हल त्रिकोणमिति असमानता चरण 9

ऐसे संकेतों का एक टेबल बनाएं जिसमें शीर्ष पंक्ति में एक्स के सभी मूल्यों को 0 से 2 पीई तक प्रगतिशील क्रम में शामिल किया गया हो। "X" के इन लगातार मूल्यों को उनके बीच अलग-अलग अंतराल बनाते हैं।

सबसे पहले, संकेत तालिका की दूसरी पंक्ति पर एफ (एक्स) = पाप 2x की भिन्नता की गणना करें। ऐसा करने के लिए हमें आर्क एक्स के विभिन्न पदों पर विचार करना चाहिए, जो त्रिकोणमिति इकाई परिधि में घूमता है। उदाहरण के लिए, यदि "x" पहले चतुर्भुज में है, तो 2x चाप दूसरा चतुर्भुज में है और पाप 2x सकारात्मक है एफ (एक्स) के भिन्नता के अनुसार "+" और ";" चिह्नों के साथ अंतराल को चिह्नित करें।

फिर, संकेत तालिका की तीसरी पंक्ति पर जी (x) = cos x - 1/2 के भिन्नता की गणना करें शीर्ष पर स्थित ऑपरेशन की तरह "+" या ";" चिह्न के साथ अंतराल को हल करें और चिह्नित करें

अंतिम पंक्ति में आर [x] की भिन्नता संकेत के साथ गणना की जाती है "+" और ";" जो के लक्षण उत्पाद आर [x] = f (x) .g (x) में प्रत्येक अंतराल संयोजन नहीं है। इस उदाहरण में, अंतिम पंक्ति के सभी अंतराल ";" आर (एक्स) को दिए गए त्रिकोणमितीय असमानता का समाधान सेट बनाते हैं। < 0 आम अवधि के भीतर समाधान सेट निम्न है: (पी / 3, पीआई / 2), (पी, 3 पी / 2) और (5 पी / 3, 2 पी)

च की भिन्नता (x) और g (x) वास्तव में बुनियादी त्रिकोणमितीय inequations को सुलझाने के लिए एक ही है निर्धारित करने के लिए दृष्टिकोण:: नोट 1 यह त्रिकोणमितीय इकाई सर्कल में के चाप चर x विभिन्न स्थानों का अध्ययन है।

नोट 2: ग्राफिक विधि यह विधि ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए सीधे त्रिकोणमितीय असमानता आर [x]> 0 (या < 0)। यह विधि, यदि प्रोफेसरों, प्रथाओं या परीक्षाओं का उपयोग इसकी अनुमति देता है, तो तेज़, सटीक और सुविधाजनक है यह कैसे करना है यह जानने के लिए, उपरोक्त त्रिकोणमिति पुस्तक का अंतिम अध्याय पढ़ें।

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