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द्विघात असमानता कैसे हल करें

एक द्विघात असमानता में एक शब्द शामिल है एक्स

2{ displaystyle x ^ {2}} और, इसलिए, धुरी के साथ दो जड़ों या चौराहों के दो बिंदु हैं एक्स। इसे एक निर्देशांक विमान पर चित्रित करके, यह एक परवलय का उत्पादन करता है। असमानता को सुलझाने का मतलब है के मूल्यों को खोजने एक्स जिसके लिए असमानता को पूरा किया गया है आप इन समाधानों को बीजगणितीय रूप से या किसी संख्या रेखा पर या असमानता को समतल करके विमान समन्वित कर सकते हैं।

चरणों

भाग 1

विषमता का असर
1
अपने मानक प्रारूप में असमानता लिखें द्विघात असमानता का मानक प्रारूप संरचना के साथ एक त्रिमितीय है कोएक्स2+खएक्स+ग<0{ displaystyle ax ^ {2} + bx + c<0}, जहाँ को{ displaystyle a}, ख{ displaystyle b} और ग{ displaystyle c} गुणांक हैं जिनका मूल्य ज्ञात है और को≠0{ displaystyle a neq 0}.
  • उदाहरण के लिए, असमानता एक्स(एक्स+4)<21{ displaystyle x (x + 4)<21} यह मानक प्रारूप में व्यक्त नहीं है। सबसे पहले, आपको विभाजन संपत्ति का उपयोग गुणा करने के लिए करना चाहिए एक्स{ displaystyle x} द्वारा एक्स+4{ displaystyle x + 4}. फिर, असमानता के दोनों किनारों पर 21 घटाएं:
    एक्स(एक्स+4)<21{ displaystyle x (x + 4)<21}
    एक्स2+4एक्स<21{ displaystyle x ^ {2} + 4x<21}
    एक्स2+4एक्स-21<21-21{ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 4x-21<21-21}
    एक्स2+4एक्स-21<0{ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 4x-21<0}.
  • 2
    दो कारक खोजें जिनके उत्पाद असमानता का पहला कार्यकाल है। असमानता का कारक बनाने के लिए, आपको दो द्वि-आयाम मिलना चाहिए जिनके उत्पाद असमानता के मानक प्रारूप के बराबर हैं। एक द्विपद दो शब्दों की अभिव्यक्ति है। इसके लिए, आपको विधि लागू करना होगा पन्नी दूसरे रास्ते के आसपास प्रत्येक द्विपदीय की पहली अवधि के लिए दो कारक ढूंढकर प्रारंभ करें
  • उदाहरण के लिए, एक्स×एक्स=एक्स2{ displaystyle x times x = x ^ {2}}, इसलिए इस तरह से कारकों को स्थापित करने से शुरू करें: (एक्स)(एक्स)<0{ displaystyle (x) (x)<0}.
  • 3
    दो कारकों का पता लगाएं जिनके उत्पाद असमानता के मानक प्रारूप में तीसरे कार्यकाल हैं। इन दो कारकों का योग भी असमानता के दूसरे कार्यकाल के बराबर होना चाहिए। आपको यह तय करने के लिए कि कौन से कारकों दोनों आवश्यकताओं को पूरा करती हैं, कुछ परीक्षण और त्रुटि लागू हो सकती है सुनिश्चित करें कि आप नकारात्मक और सकारात्मक संकेतों के लिए करीब ध्यान दें।
  • उदाहरण के लिए:
  • 7×-3=-21{ displaystyle 7 times -3 = -21}
  • -21 असमानता में तीसरा शब्द है, इसलिए कारक 7 और -3 काम कर सकते हैं अब, आपको यह निर्धारित करना होगा कि इन कारकों का योग दूसरी अवधि के बराबर है (4{ displaystyle 4}) असमानता के
  • क्योंकि 7+-3=4{ displaystyle 7 + -3 = 4}, ये दो कारकों दोनों आवश्यकताओं को पूरा करते हैं तो, कारक असमान है (एक्स+7)(एक्स-3)<0{ displaystyle (x + 7) (x-3)<0}.

    • भाग 2

    असमानता की जड़ें निर्धारित करें
    1
    निर्धारित करें कि कारकों के समान चिह्न हैं अगर कारकों में से उत्पाद शून्य से अधिक है inequation के अनुसार, दोनों ही कारक नकारात्मक (कम से कम 0) या सकारात्मक (0 से अधिक) हो जाएगा, और दोनों दो नकारात्मक है कि दो सकारात्मक संकेत के रूप में संकेत एक सकारात्मक संकेत का उत्पादन बढ़ा रही हैं।
    • यदि असमानता या उससे अधिक के बराबर है (≥{ displaystyle geq}) या उससे कम या बराबर (≤{ displaystyle leq}), कारकों में से एक या दोनों, शून्य के बराबर हो सकते हैं
    • उदाहरण के लिए, असमानता में (एक्स+7)(एक्स-3)<0{ displaystyle (x + 7) (x-3)<0}, कारकों का उत्पाद 0 से कम है, इसलिए कारकों के विभिन्न लक्षण होंगे।
  • 2
    निर्धारित करें कि कारकों में भिन्न लक्षण हैं यदि उत्पाद कारक inequation के अनुसार 0 से कम है, कारकों में से एक 0 से कम या नकारात्मक हो जाएगा और अन्य 0 से अधिक या सकारात्मक हो जाएगा। इसका कारण यह है कि एक सकारात्मक से एक नकारात्मक संकेत गुणा एक नकारात्मक संकेत पैदा करता है।
  • फिर से, यदि असमानता या उससे अधिक के बराबर है (≥{ displaystyle geq}) या उससे कम या बराबर (≤{ displaystyle leq}), कारकों में से एक या दोनों, शून्य के बराबर हो सकते हैं
  • उदाहरण के लिए, असमानता में (एक्स+7)(एक्स-3)<0{ displaystyle (x + 7) (x-3)<0}, कारकों का उत्पाद 0 से कम है, इसलिए कारकों के विभिन्न लक्षण होंगे।
  • 3

    Video: द्विघात असमानताओं | बहुपद और तर्कसंगत कार्यों | बीजगणित द्वितीय | खान अकादमी

    जड़ों के लिए विकल्प लिखें प्रत्येक कारक को असमानता में परिवर्तित करने के विकल्पों को लिखें, इस पर आधारित है कि क्या उनके पास एक ही संकेत या भिन्न लक्षण होंगे। दो विकल्प होने चाहिए
  • उदाहरण के लिए, आपको पहले पाया गया कि असमानता के कारक (एक्स+7)(एक्स-3)<0{ displaystyle (x + 7) (x-3)<0} उनके पास अलग-अलग लक्षण होने चाहिए इसलिए, ये विकल्प होंगे:
    एक्स+7<0{ डिस्प्लेस्टाइल x + 7<0} और 0 ">एक्स-30{ displaystyle x-3> 0}. (यह है, पहला कारक नकारात्मक होगा और दूसरा सकारात्मक होगा)।
    हे
    0 ">एक्स+70{ displaystyle x + 7> 0} और एक्स-3<0{ डिस्प्लेस्टाइल x-3<0}. (यह है, पहला कारक सकारात्मक होगा और दूसरा नकारात्मक होगा)।
  • 4
    पहला विकल्प की जड़ें सरल बनाएं सरल बनाने के लिए, चर को अलग करें एक्स{ displaystyle x} प्रत्येक कारक का मत भूलो कि यदि आप एक नकारात्मक संख्या से असमानता को गुणा या विभाजित करते हैं, तो आपको संकेत को बदलना होगा।
  • उदाहरण के लिए, पहले विकल्प के लिए (एक्स+7)(एक्स-3)<0{ displaystyle (x + 7) (x-3)<0} यह वह जगह है एक्स+7<0{ डिस्प्लेस्टाइल x + 7<0} और 0 ">एक्स-30{ displaystyle x-3> 0}.
  • के मूल्य का पता लगाएं एक्स{ displaystyle x} में एक्स+7<0{ डिस्प्लेस्टाइल x + 7<0}:
    एक्स+7-7<0-7{ displaystyle x + 7-7<0-7}
    एक्स<-7{ डिस्प्लेस्टाइल x<} -7
  • उसके बाद, मूल्य का पता लगाएं एक्स{ displaystyle x} में 0 ">एक्स-30{ displaystyle x-3> 0}:
    0 + 3 ">एक्स-3+30+3{ displaystyle x-3 + 3> 0 + 3}
    एक्स<3{ डिस्प्लेस्टाइल x<3}
  • तो, पहले विकल्प की सरलीकृत जड़ें हैं एक्स<-7{ डिस्प्लेस्टाइल x<} -7 और 3 ">एक्स3{ displaystyle x> 3}.

  • Video: Quadratic inequalities (visual explanation) | Algebra II | Khan Academy

    5
    पहले विकल्प की जड़ों की वैधता की जांच करें। इसके लिए, देखें कि क्या आप सही असमानता बनाने के लिए जड़ों को जोड़ सकते हैं। यदि आप दोनों जड़ों के मान पा सकते हैं जो असमानता को पूरा करने के लिए करते हैं, तो विकल्प वैध है। यदि नहीं, तो इस विकल्प की जड़ें वैध नहीं हैं।
  • उदाहरण के लिए, पहले विकल्प में, एक्स<-7{ डिस्प्लेस्टाइल x<} -7 और 3 ">एक्स3{ displaystyle x> 3}, आपको यह निर्धारित करना होगा कि मूल्यों के कारण दोनों ही असमानताएं पूरी हो सकती हैं। अपने आप से पूछें कि क्या कोई मूल्य है कि 3. से अधिक -7 से भी कम समय और है क्योंकि यह संभव नहीं है कि एक नंबर -7 से भी कम समय और 3 से अधिक एक ही समय में है, तुम्हें पता है कि यह विकल्प मान्य नहीं है।
  • 6
    दूसरे विकल्प की जड़ों को सरल बनाएं। चर को अलग करता है एक्स{ displaystyle x} प्रत्येक कारक के और यदि आप एक नकारात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करते हैं तो असमानता का चिह्न बदलने के लिए मत भूलना।
  • उदाहरण के लिए, दूसरे विकल्प के लिए (एक्स+7)(एक्स-3)<0{ displaystyle (x + 7) (x-3)<0} यह 0 "> हैएक्स+70{ displaystyle x + 7> 0} और एक्स-3<0{ डिस्प्लेस्टाइल x-3<0}.
  • सबसे पहले, मूल्य का पता लगाएं एक्स{ displaystyle x} में 0 ">एक्स+70{ displaystyle x + 7> 0}:
    0-7 ">एक्स+7-70-7{ displaystyle x + 7-7> 0-7}
    -7 ">एक्स-7{ displaystyle x> -7}
  • उसके बाद, मूल्य का पता लगाएं एक्स{ displaystyle x} में एक्स-3<0{ डिस्प्लेस्टाइल x-3<0}:
    एक्स-3+3<0+3{ डिस्प्लेस्टाइल x-3 + 3<0 + 3}
    एक्स<3{ डिस्प्लेस्टाइल x<3}
  • इसलिए, दूसरे विकल्प की सरलीकृत जड़ें -7 "> हैंएक्स-7{ displaystyle x> -7} और एक्स<3{ डिस्प्लेस्टाइल x<3}.
  • 7



    दूसरे विकल्प की जड़ों की वैधता की जांच करें यदि आप दोनों जड़ों के मान पा सकते हैं जो असमानता को पूरा करने के लिए करते हैं, तो विकल्प वैध है। यदि नहीं, तो इस विकल्प की जड़ें वैध नहीं हैं।
  • उदाहरण के लिए, दूसरा विकल्प -7 "> हैएक्स-7{ displaystyle x> -7} और एक्स<3{ डिस्प्लेस्टाइल x<3}, तो आपको मूल्य का पता होना चाहिए एक्स{ displaystyle x} जिससे दोनों असमानता पूरी हो सकती है। अपने आप से पूछें कि क्या कोई मूल्य है कि 3. कम से कम -7 से बड़ा और है क्योंकि कई संख्या इन आवश्यकताओं को पूरा है (जैसे, 0), तुम्हें पता है कि यह विकल्प मान्य है। इसलिए, ये जड़ें असमानता का समाधान हैं।

    • भाग 3

    किसी संख्या रेखा पर समाधानों का सेट ग्राफ़ करें
    1
    एक संख्या रेखा खींचना सुनिश्चित करें कि आप इसे विनिर्देशों के अनुसार आकर्षित करते हैं यदि आपके पास उनको नहीं है, तो बस दोनों मूल्यों के लिए स्थान शामिल करें एक्स{ displaystyle x} क्या आप पहले पाया इन मूल्यों से ऊपर और नीचे कुछ और मान शामिल करें ताकि संख्या रेखा व्याख्या करने में आसान हो।
    • उदाहरण के लिए, क्योंकि असमानता की जड़ें एक्स(एक्स+4)<21{ displaystyle x (x + 4)<21} वे -7 "> हैंएक्स-7{ displaystyle x> -7} और एक्स<3{ डिस्प्लेस्टाइल x<3}, एक संख्या रेखा खींचना जिसमें मूल्य -7 और 3 के अंक शामिल हैं एक्स।
  • 2
    ग्राफ का मान एक्स{ displaystyle x} नंबर लाइन पर संख्या रेखा पर अपने स्थान पर एक मंडली को खींचकर अंक ग्राफ़ करें। यदि असमानता से अधिक है ({ displaystyle>}) या उससे कम (<{ displaystyle <}) का मूल्य x, एक खुला सर्कल खींचें यदि असमानता या उससे अधिक के बराबर है (≥{ displaystyle geq}) या उससे कम या बराबर (≤{ displaystyle leq}) का मूल्य x, संख्या रेखा पर सर्कल भरें, क्योंकि मान सेट में शामिल किए जाएंगे।
  • उदाहरण के लिए, क्योंकि जिन मूल जड़ों के साथ आप काम कर रहे हैं -7 ">एक्स-7{ displaystyle x> -7} और एक्स<3{ डिस्प्लेस्टाइल x<3}, आप संख्या रेखा पर -7 और 3 के लिए अंक में खुले हलकों को आकर्षित करेंगे।
  • 3
    तीरों या पंक्तियां बनाएं जो कि मूल्यों को शामिल करते हैं जो कि शामिल हैं। अगर एक्स{ displaystyle x} मूल्य से अधिक है, एक रेखा खींचना जो अंक रेखा के दाईं ओर इंगित करती है, क्योंकि मूल्यों में शामिल मूल्यों की तुलना में अधिक होगी एक्स{ displaystyle x}. अगर एक्स{ displaystyle x} मूल्य से कम है, संख्या रेखा पर बायीं ओर इंगित करने वाली एक रेखा खींचना है, क्योंकि इसमें शामिल मूल्यों की तुलना में कम होगा एक्स{ displaystyle x}. यदि शामिल मान दो अंकों के बीच हैं, तो प्लॉट किए गए दोनों बिंदुओं के बीच की रेखा खींचें।
  • उदाहरण के लिए, क्योंकि आप यह दिखाना चाहते हैं कि -7 ">एक्स-7{ displaystyle x> -7} लेकिन यह भी एक्स<3{ डिस्प्लेस्टाइल x<3}, आपको नंबर लाइन पर -7 और 3 के बीच की रेखा खींचना चाहिए।

    • भाग 4

    एक समन्वयक विमान पर समाधान के सेट को ग्राफ़ बनाएं
    1
    अक्ष के साथ चौराहे के अंक ग्राफ़ करें समन्वय विमान में एक्स ये उन बिंदुएं हैं जिन पर परोबाला अक्ष को पार करती है एक्स। आप पाए गए दोनों जड़ अक्ष में हैं एक्स।
    • उदाहरण के लिए, यदि असमानता है एक्स2+4एक्स-21<0{ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 4x-21<0}, अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु
     एक्स हैं -7 ">एक्स-7{ displaystyle x> -7} और एक्स<3{ डिस्प्लेस्टाइल x<3}, चूंकि ये जड़ें हैं जो आपको द्विघात सूत्र या फैक्टरिंग का उपयोग करते हुए मिलती हैं।
  • 2
    समरूपता का अक्ष ढूंढें समरूपता का अक्ष रेखा है जो परबोल को आधा में विभाजित करता है। इसे खोजने के लिए, सूत्र का उपयोग करें एक्स=-ख2को{ displaystyle x = { frac {-b} {2a}}}, जहाँ को{ displaystyle a} और ख{ displaystyle b} मूल द्विघात असमानता की शर्तों के अनुरूप।
  • उदाहरण के लिए, असमानता के लिए एक्स2+4एक्स-21<0{ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 4x-21<0}, आप पहले की गणना करेंगे एक्स=-42(1){ displaystyle x = { frac {-4} {2 (1)}}}:
    एक्स=-42{ displaystyle x = { frac {-4} {2}}}
    एक्स=-2{ displaystyle x = -2}. फिर, समरूपता का अक्ष रेखा है एक्स=-2{ displaystyle x = -2}.
  • 3
    परोबा के शीर्ष को खोजें शीर्ष परबाला का सर्वोच्च या निम्नतम बिंदु है। इसे ढूंढने के लिए, पहले मूल असमानता को समीकरण के बराबर रूप में परिवर्तित करें और{ displaystyle और}. फिर, समीकरण में मूल्य की जगह एक्स{ displaystyle x} कि आप सममिति के अक्ष के लिए मिल गए हैं
  • उदाहरण के लिए, यदि समरूपता का अक्ष है एक्स=-2{ displaystyle x = -2}, समीकरण में 2 की जगह और हल:
    और=(-2)2+4(-2)+-21{ displaystyle y = (- 2) ^ {2} +4 (-2) + -21}
    और=4-8-21{ displaystyle y = 4-8-21}
    और=4-8-21{ displaystyle y = 4-8-21}
    फिर, परवलय का शीर्ष बिंदु पर है (-2,-25){ डिस्स्टस्टाइल (-2, -25)}.
  • 4
    परवलय की दिशा निर्धारित करें यह जानने के लिए कि किस दिशा में वृत्तांत विस्तार किया जाएगा, शब्द का पालन करें को{ displaystyle a} असमानता के मानक प्रारूप में यदि यह शब्द सकारात्मक है, तो परोबाला "चेहरा" होगा - अर्थात यह ऊपर की तरफ बढ़ेगा यदि यह शब्द ऋणात्मक है, तो परोबाला "उल्टा" होगा - अर्थात यह नीचे की ओर खुल जाएगा
  • क्योंकि शब्द को{ displaystyle a} असमानता में एक्स2+4एक्स-21<0{ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 4x-21<0} यह सकारात्मक है, दृष्टान्त का चेहरा होगा।
  • 5

    Video: NCERT BOOK मानव नेत्र और रंग बिरंगा संसार

    एक ठोस या बिंदीदार रेखा के साथ परवलय निकालें यदि असमानता या उससे अधिक के बराबर है (≥{ displaystyle geq}) या उससे कम या बराबर (≤{ displaystyle leq}) लाइन, एक ठोस रेखा के साथ परवलय को आकर्षित करें, चूंकि पंक्ति के मान समाधानों के सेट में शामिल किए जाएंगे। यदि असमानता या उससे अधिक के बराबर है ({ displaystyle>}) या उससे कम या बराबर (<{ displaystyle <}) लाइन, एक बिंदीदार रेखा के साथ परवलय को आकर्षित करें, क्योंकि पंक्ति के मान समाधानों के सेट में शामिल नहीं होंगे।
  • क्योंकि लाइन एक्स2+4एक्स-21<0{ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 4x-21<0} शून्य से कम है (शून्य से कम या बराबर), आपको एक बिंदीदार रेखा के साथ परवलय को आकर्षित करना होगा
  • 6
    ग्राफिक शेड यह पता करने के लिए कि अक्ष के ऊपर या नीचे छाया है या नहीं x, मूल असमानता का पालन करें। यदि यह शून्य से कम है, तो अक्ष के नीचे के ग्राफ़ को छांटें एक्स। यदि असमानता शून्य से अधिक है, तो अक्ष के ऊपर ग्राफ छायांकित करें एक्स। पता करने के लिए कि आपको परोबा के अंदर या बाहर छायादार होना चाहिए, जड़ें या संख्या रेखा को देखें यदि मान्य मूल्यों का एक्स{ displaystyle x} वे दोनों जड़ों के बीच हैं, परवलय के अंदर छाया। यदि मान्य मूल्यों का एक्स{ displaystyle x} वे दोनों जड़ों के बीच की सीमा के बाहर हैं, परोबा को छिद्रण
  • उदाहरण के लिए, क्योंकि असमानता है एक्स2+4एक्स-21<0{ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 4x-21<0}, आप उस क्षेत्र को छाया करेंगे जो अक्ष के नीचे है एक्स। क्योंकि वैध मान जड़ों -7 और 3 के बीच होते हैं, आप इन दो बिंदुओं के बीच के क्षेत्र को छाया करेंगे।
    • और पढ़ें ... (13)
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