उच्च डिग्री के बहुपदों को कैसे हल किया जाए

एक उच्च-स्तरीय बहुपक्षीय को हल करने के लिए एक समान कार्य है जो कि एक वर्ग की कार्यप्रणाली या एक साधारण बीजीय अभिव्यक्ति है: जितना जितना संभव हो उतना फैक्टरिंग और तब बहुपद का समाधान खोजने के लिए कारकों का उपयोग करते समय y = 0. एक शब्द के साथ बहुपदों को हल करने के लिए कई तरीके हैं $एक्स$

सामग्री
चरणों
विधि 1
विधि 2
तर्कसंगत जड़ों का परीक्षण करें
सिंथेटिक डिवीजन
युक्तियाँ
चेतावनी
Video: algebra( बीजगणित के प्रश्न को हल करने की आसान ट्रिक) part-2 || ssc,mts,cgl,chsl and all exam ||
Video: गणित के सवाल हल करे कैमरा से।

3{ displaystyle x ^ {3}} या अधिक आपको उस प्रश्न को ढूंढने से पहले कई का उपयोग करना पड़ सकता है जो प्रश्न में समस्या को त्याग देता है

चरणों

विधि 1

कारकों को पहचानें

सभी शर्तों के लिए सामान्य कारक खोजें अगर बहुपद में सभी पद एक सामान्य कारक हैं, तो उन्हें समस्या को आसान बनाने के लिए कारक बनाएं। यह सभी बहुपदों के लिए संभव नहीं है लेकिन यह एक अच्छा तरीका है जिसे आप पहले की समीक्षा कर सकते हैं।

उदाहरण 1: मूल्य का पता लगाएं बहुपद में एक्स ${ displaystyle 2x ^ {3} + 12x ^ {2} + 16x = 0}$ .
प्रत्येक शब्द 2x से विभाज्य है, इसलिए उनका कारक:
${ displaystyle (2x) (x ^ {2}) + (2x) (6x) + (2x) (8) = 0}$
${ displaystyle = (2x) (x ^ {2} + 6x + 8)}$
अब द्विघात समीकरण को हल करें द्विघात सूत्र या फैक्टरिंग का उपयोग करना:
${ displaystyle (2x) (x + 4) (x + 2) = 0}$
समाधान 2 में हैंx = 0, एक्स + 4 = 0 और x + 2 = 0
समाधान हैं x = 0, x = -4 y x = -2

बहुपदों को पहचानें, जो एक द्विघात समारोह के रूप में कार्य करते हैं। आप पहले से ही पता कर सकते हैं कि किस प्रकार द्वितीय श्रेणी के बहुपदों को हल करना है

{ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

. यदि आप प्रारूप में हैं तो आप उसी तरह उच्च स्तर के बहुपदों को हल कर सकते हैं

{ displaystyle ax ^ {2n} + bx ^ {n} + c}

. यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 2:

{ displaystyle 3x ^ {4} + 4x ^ {2} -4 = 0}

उसे छोड़ दो

{ displaystyle a = x ^ {2}}

{ डिस्स्टस्टाइल 3 ए ^ {2} + 4 ए -4 = 0}

द्विघात समारोह को हल करें किसी भी विधि का उपयोग कर:

{ displaystyle (3 ए -2) (ए + 2) = 0}

, इसलिये ए = -2 ओ ए = 2/3
बदल देता है ${ displaystyle x ^ {2}}$ द्वारा: ${ displaystyle x ^ {2} = - 2}$ या ${ displaystyle x ^ {2} = 2/3}$ .
x = ± √ (2/3)। अन्य समीकरण, ${ displaystyle x ^ {2} = - 2}$ , असली समाधान नहीं है (यदि आप जटिल संख्याओं का उपयोग करने जा रहे हैं, तो उसे हल करें एक्स = ±i√2)।

उदाहरण 3:

{ displaystyle x ^ {5} + 7x ^ {3} -9x = 0}

इस पद्धति का पालन नहीं करता है लेकिन नोट्स है कि आप एक कारक कर सकते हैं एक्स:
${ displaystyle (x) (x ^ {4} + 7x ^ {2} -9) = 0}$
अब, आप का इलाज कर सकते हैं ${ displaystyle x ^ {4} + 7x ^ {2} -9}$ एक द्विघात समारोह के रूप में, जैसा कि उदाहरण 2 में दिखाया गया है

क्यूबिक शर्तों के रकम या अंतर का पता लगाएं। ये विशेष मामलों को कारक लगाना कठिन लगता है, लेकिन उनके पास गुण हैं जो समस्या की बहुत सुविधा प्रदान करते हैं:

क्यूब्स का योग: रूप में एक बहुपद

{ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}

यह अंदर सकारात्मक

{ displaystyle (a + b) (एक ^ {2} -ab + b ^ {2}}}

क्यूब्स का अंतर: रूप में एक बहुपद

{ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}

यह अंदर सकारात्मक

{ डिस्स्टस्टाइल (ए-बी) (ए 2 + एबी + बी 2)}

ध्यान दें कि नतीजे के द्विघातीय भाग पर विचार नहीं किया जा सकता है।

ध्यान रखें कि

{ displaystyle x ^ {6}}

{ displaystyle x ^ {9}}

और एक्स इन पैटर्न में फिट 3 से किसी भी शक्ति विभाज्य करने के लिए उठाया

अन्य कारक ढूंढने के लिए पैटर्न खोजें बहुपदों जो पिछले उदाहरणों के समान नहीं हैं, उनके पास कोई स्पष्ट कारक नहीं हो सकता है हालांकि, नीचे दिए गए तरीकों की कोशिश करने से पहले, दो शब्दों का एक कारक खोजने की कोशिश करें (जैसे "x + 3 ")। अलग आदेश और बहुपद फैक्टरिंग के मामले में आप इसे खोजने में मदद कर सकता है समूहन। यह हमेशा एक व्यवहार्य दृष्टिकोण, है इतना समय अगर यह किसी भी आम कारक खोजने के लिए संभावना नहीं लगता है की कोशिश के लिए समर्पित नहीं है।

उदाहरण 4:

{ displaystyle -3x ^ {3} -x ^ {2} + 6x + 2 = 0}

इसका कोई स्पष्ट कारक नहीं है लेकिन आप पहले दो शब्दों का कारक बना सकते हैं और देखें कि क्या होता है:

{ displaystyle (-x ^ {2}) (3x + 1) + 6x + 2 = 0}

अब, पिछले दो शब्दों का कारक ("6x + 2 "), एक सामान्य कारक की ओर इशारा करते हुए:
${ displaystyle (-x ^ {2}) (3x + 1) + (2) (3x + 1) = 0}$
अब, सामान्य कारक "3 का उपयोग कर इसे फिर से लिखनाx + 1 ":
${ displaystyle (3x + 1) (- x ^ {2} +2) = 0}$

विधि 2

तर्कसंगत जड़ें और कृत्रिम विभाजन

बहुपद की जड़ पहचानने का प्रयास करें सिंथेटिक विभाजन हाई-स्तरीय बहुपदों का कारक बनाने का एक उपयोगी तरीका है, लेकिन यह केवल तभी काम करता है यदि आप पहले से ही जड़ों (या "शून्य") में से एक जानते हैं। आप इसे ऊपर बताए अनुसार फैक्टरिंग से ढूंढ सकते हैं या समस्या आपको एक दे सकती है यदि हां, सिंथेटिक डिवीजन के निर्देशों पर जाएं. अगर आपको कोई जड़ पता नहीं है, तो एक को खोजने की कोशिश करने के लिए अगले चरण पर जाएं

एक बहुपद की जड़ का मूल्य है जिसके लिए एक्स y = 0. एक रूट पता है सी भी आपको एक बहुपद कारक देता है, ("एक्स - सी ")।

तर्कसंगत जड़ों का परीक्षण करें

1

निरंतर अवधि के कारकों की एक सूची बनाओ। "तर्कसंगत जड़ें" परीक्षण अनुमान लगाने का एक तरीका है मूल के संभावित मान के साथ शुरू करने के लिए, सभी कारकों की एक सूची बनाओ निरंतर (शब्द जो कि कोई चर नहीं है)
उदाहरण: बहुपद ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ स्थिर अवधि 9 है। इसका कारक 1, 3 और 9 हैं
2

मुख्य गुणांक के कारकों की एक सूची बनाओ यह बहुपद के पहले कार्यकाल में गुणांक है, जब इसे उच्चतम पद से कम से कम डिग्री अवधि तक व्यवस्थित किया जाता है। उस नंबर के सभी कारकों की एक अलग पंक्ति पर सूची बनाएं
उदाहरण (cont।): ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ इसमें 2 का एक मुख्य गुणांक है। इसकी कारक 1 और 2 हैं
3

संभव जड़ों के लिए देखो यदि बहुपद एक तर्कसंगत जड़ है (जो हमेशा नहीं होता है), यह ± [स्थिरता का एक कारक] / [मुख्य गुणांक का एक कारक] के बराबर होना चाहिए। केवल एक नंबर सी इस फॉर्म में "कारक" में प्रकट हो सकता हैएक्स - सी) मूल बहुपद की "
उदाहरण (cont।): इस बहुपद की कोई तर्कसंगत जड़ [1, 3 या 9] के रूप में [1 या 2] से विभाजित है। संभावनाओं में शामिल हैं ± 1/1, ± 1/2, ± 3/1, ± 3/2, ± 9/1 या ± 9/2 "±" न भूलें: इनमें से प्रत्येक संभावनाएं सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती हैं
4

जड़ें तब तक जांचें जब तक आप पाते हैं कि फिट बैठता है। यह गारंटी नहीं है कि इनमें से कोई एक रूट है, इसलिए आपको उन्हें मूल बहुपद में परीक्षण करना होगा।
उदाहरण: [1/1 = 1] एक संभावित रूट है। यदि यह एक सच्ची जड़ साबित हो जाता है, तो उसे बहुपद में बदलकर 0 में परिणाम चाहिए।
${ displaystyle 2 (1) ^ {3} + (1) ^ {2} -12 (1) + 9 = 2 + 1-12 + 9 = 0}$ , इसलिए यह पुष्टि हुई है कि यह एक रूट है।
इसका मतलब यह है कि बहुपद का कारक "(x - 1) "।
यदि संभावनाओं में से कोई भी काम करता है, तो बहुपद में कोई तर्कसंगत जड़ नहीं है और इसका आधार नहीं हो सकता है।

सिंथेटिक डिवीजन

1

यह सिंथेटिक डिवीजन की समस्या को स्थापित करता है। सिंथेटिक विभाजन एक बहुपद के सभी कारकों को खोजने का एक तरीका है यदि आप उनमें से एक को पहले से जानते हैं। समस्या को स्थापित करने के लिए, बहुपद का मूल लिखें। अपने दाहिनी ओर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचना और फिर उच्चतम डिग्री के एक्सपोनेंट से निम्नतम डिग्री तक के बहुपद गुणांक लिखिए। (आपको खुद को शब्द लिखना नहीं है, केवल गुणांक)
ध्यान दें: आपको शून्य के एक गुणांक के साथ शब्दों को दर्ज करना पड़ सकता है उदाहरण के लिए, बहुपद को फिर से लिखना ${ displaystyle x ^ {3} + 2x}$ जैसे ${ displaystyle x ^ {3} + 0x ^ {2} + 2x + 0}$ .
उदाहरण (cont।): ऊपर वर्णित तर्कसंगत जड़ों की जांच की स्थापना की है कि बहुपद ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ रूट 1 है
एक ऊर्ध्वाधर रेखा और बहुपद गुणांक के बाद रूट 1 लिखें:
${ displaystyle { आरंभ {pmatrix} 1 | 21-129 अंत {pmatrix}}}$
2

पहले गुणांक कम करें जवाब रेखा पर पहले गुणांक की प्रतिलिपि बनाएँ बाद में गणना करने के लिए दो नंबरों के बीच एक रिक्त पंक्ति छोड़ें।
उदाहरण (cont।): उत्तर पंक्ति में 2 को कम करें:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 अंत {pmatrix}}}$
3

उस नंबर को रूट से गुणा करें जवाब अगले शब्द के नीचे सीधे लिखें लेकिन उत्तर पंक्ति में नहीं।
उदाहरण (cont।): दो बार फिर से प्राप्त करने के लिए रूट द्वारा 2 गुणा करें। कि अगले कॉलम में 2 लिखें, लेकिन दूसरी पंक्ति में उत्तर पंक्ति के बजाय लिखें:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 2 अंत {pmatrix}}}$
4

उत्तर के अगले हिस्से को प्राप्त करने के लिए स्तंभ की सामग्री जोड़ें। गुणांक के दूसरे स्तंभ में अब दो संख्याएं हैं। उन्हें जोड़ें और परिणाम सीधे उत्तर रेखा पर लिखें।
उदाहरण (cont।): 1 + 2 = 3
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 23 अंत {pmatrix}}}$
5

जड़ से परिणाम गुणा करें जैसा कि आप पहले किया था, मूल पंक्ति से उत्तर पंक्ति में अंतिम संख्या को गुणा करें। निम्न गुणांक के नीचे अपना उत्तर लिखें
उदाहरण (cont।): 1 x 3 = 3:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23 23 अंत {pmatrix}}}$
6

अगले कॉलम की राशि ढूंढें पहले की तरह, कॉलम में दो नंबर जोड़ें और उत्तर पंक्ति में परिणाम लिखें।
उदाहरण (cont।): -12 + 3 = -9:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23 23-9 अंत {pmatrix}}}$
7

इस प्रक्रिया को दोहराएं जब तक आप अंतिम कॉलम तक नहीं पहुंच जाते। उत्तर रेखा में अंतिम संख्या हमेशा शून्य होगी। यदि आप कोई अन्य परिणाम प्राप्त करते हैं, तो त्रुटियों के लिए अपना काम देखें।
उदाहरण (cont।): रूट 1 द्वारा गुणा -9, अंतिम कॉलम के नीचे जवाब लिखिए और फिर पुष्टि करें कि अंतिम कॉलम का योग शून्य है:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23-9 23-90 अंत {pmatrix}}}$
8

एक अन्य कारक खोजने के लिए उत्तर रेखा का उपयोग करें अब आपने शब्द के बीच बहुपद विभाजित किया है "(एक्स - सी) ", जहां सी कारक है उत्तर पंक्ति आपको आपके उत्तर में प्रत्येक शब्द का गुणांक बताता है का हिस्सा प्रत्येक शब्द का एक्स एक्सपोनेंट है मूल शब्द से कम एक डिग्री उस पर सीधे।
उदाहरण (cont।): उत्तर रेखा 2 3-9 0 है, लेकिन आप अंतिम शून्य को अनदेखा कर सकते हैं।
क्योंकि मूल बहुपद का पहला कार्य भी शामिल था ${ displaystyle x ^ {3}}$ , आपके उत्तर का पहला कार्य नीचे एक डिग्री है: ${ displaystyle x ^ {2}}$ . इसलिए, पहला शब्द है ${ displaystyle 2x ^ {2}}$ .
उत्तर पाने के लिए प्रक्रिया को दोहराएं ${ displaystyle 2x ^ {2} + 3x-9}$ .
अब, आपने कल्पना की है ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ में ${ displaystyle (x-1) (2x2 + 3x-9)}$ .
9

यदि आवश्यक हो तो दोहराएं सिंथेटिक डिवीजन की एक ही पद्धति का उपयोग करके आप छोटे हिस्सों में अपनी प्रतिक्रिया का कारण बना सकते हैं। हालांकि, आप समस्या को खत्म करने के लिए एक तेज़ विधि का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक बार जब आप एक द्विघात अभिव्यक्ति रखते हैं, तो आप इसे द्विघात सूत्र का उपयोग करके फैक्टर कर सकते हैं।
याद रखें: सिंथेटिक प्रभाग की विधि शुरू करने के लिए, आपको एक रूट पता होना होगा। तर्कसंगत जड़ें इसे फिर से प्राप्त करने के लिए परीक्षण करें। यदि संभावित जड़ों में से कोई भी काम करता है, तो अभिव्यक्ति का आधार नहीं हो सकता।
उदाहरण (cont।): आपने कारक पाया है ${ displaystyle (x-1) (2x2 + 3x-9)}$ , लेकिन दूसरा पहलू आगे विभाजित किया जा सकता है। द्विघात समीकरण का परीक्षण करें, परंपरागत गुणक या कृत्रिम विभाजन
अंतिम उत्तर है ${ डिस्स्टस्टाइल (एक्स -1) (एक्स + 3) (2x-3)}$ , इसलिए बहुपद की जड़ें हैं x = 1, x = -3 और x = 3/2

युक्तियाँ

शर्तें जड़ों, शून्य और समाधान के मूल्यों को देखें एक्स कि बनाना एफ (एक्स) = 0.। वे एकांतर रूप से इस्तेमाल किया जा सकता है
क्यूबिक और क्वार्टिक फार्मूला, द्विमितीय सूत्र के समान रूप में मौजूद हैं, लेकिन वे अधिक जटिल हैं और अक्सर कंप्यूटर के अलावा इसका उपयोग नहीं किया जाता है। पांचवीं डिग्री और उच्च डिग्री बहुपदों के पास बीजीय तकनीक की सरल तकनीक का उपयोग करते हुए एक सामान्य समाधान नहीं है लेकिन कुछ उदाहरणों में उपर्युक्त दृष्टिकोणों का उपयोग करके तथ्य बन सकते हैं।
डेसकार्ट के संकेत के नियम आपको समाधान नहीं देंगे, लेकिन आप भविष्यवाणी कर सकते हैं कि वहां कितने वास्तविक और अनूठे समाधान हैं। यह जानने के लिए इन चरणों का पालन करें कि आपको सभी संभावित समाधान मिल गए हैं:
सर्वोच्च से उच्चतम स्तर तक बहुपद का आदेश दें:
${ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -2x ^ {2} + x + 1}$ .
शर्तों को अनदेखा करें और केवल उनके संकेत (सकारात्मक या नकारात्मक) लिखें:
+--++
संख्याओं की संख्या की संख्या को गिनें, जो कि + से - या इसके विपरीत, बदले में बाएं से दाएं:
अनुक्रम + - ++ परिवर्तन दो बार हस्ताक्षर करते हैं।
असली समाधान की संख्या है या तो उस संख्या के बराबर या उस संख्या के बराबर शून्य से 2n, जहां n एक पूर्णांक है
इस उदाहरण में, 2 समाधान हो सकते हैं या 0 हो सकते हैं
एक अन्य काल्पनिक समस्या में, जहां नियम सात बार बदलते हैं, समाधान की संख्या 7, 5, 3 या 1 हो सकती है।

चेतावनी

यदि आपको एक काल्पनिक जड़ मिलता है (और आप उस समस्या के साथ काम कर रहे हैं जिसमें काल्पनिक जड़ों को ध्यान में रखा गया है), यह मत भूलो कि उस संख्या में शून्य और इसके संयुग्मित होगा हाँ "(एक्स - 3i) "यह एक जड़ है, यह भी है" (एक्स + 3i) "।